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問題 (

問162

[1] \(f(x)=x^3-5x \)とする。y=f(x)と直線y=kの異なる交点の数が3個になるようなkの範囲は
ア<k<イである。
ア・イの選択肢

⓪ \( \sqrt{5} \)  ① \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3} \)  ② \(\displaystyle \frac{10\sqrt{15}}{9} \)
③ \( -\sqrt{5} \)  ④ \(\displaystyle -\frac{\sqrt{15}}{3} \)  ⑤ \(\displaystyle -\frac{10\sqrt{15}}{9} \)

このときの交点のx座標をa,b,c(a<b<c)とする。c-aの最大値を求めたい。

<太郎君>
解と係数の関係より
a+b+c=ウ
ab+bc+ca=エ
だから\( (c-a)^2 \)をbで表せるね。

ウ・エの選択肢

⓪ 0  ① 1  ② 3  ③ 5
④ -1  ⑤ -3  ⑥ -5

<花子さん>
y=f(x)とx軸の交点を,x座標の小さい順にP,Q,Rとする。このとき,Pにおけるy=f(x)の接線l1の傾きはオ,Rにおけるy=f(x)の接線l2の傾きはカとなる。

4直線l1,l2,y=ア,y=イで囲まれる四角形はキとなるね。

オ・カの選択肢

⓪ 0  ① 3  ② 10  ③ 100
④ -5  ⑤ \( 5\sqrt{5} \)

キの選択肢

⓪ 正方形
① 正方形ではない長方形
② 長方形ではない平行四辺形
③ 平行四辺形ではない台形

太郎君または花子さんの考え方より,c-aの最大値はクとなる。

クの選択肢

⓪ \(\sqrt{5} \)   ① \(\sqrt{10} \)  ② \(\sqrt{15}\)
③ \( 2\sqrt{5} \)  ④ 4  ⑤ 5

[2] y=f(x)のx>0の部分を放物線でおきかえた関数
\( \begin{eqnarray} g(x)= \begin{cases} x^3-5x & ( x \leq 0  ) \\ 3x^2-5x & ( x>0 ) \end{cases} \end{eqnarray}  \)
を考える。y=g(x)と直線y=kの異なる交点の数が3個になるkの範囲は
ケ<k<コ
である。また,このときの交点のx座標をα,β,γ(α<β<γ)とするとγ-αの最大値はサである。

ケ・コの選択肢

⓪ \( \sqrt{5} \) ① \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3} \) ② \(\displaystyle \frac{10\sqrt{15}}{9} \)
③ \( \displaystyle \frac{5}{3} \)  ④ \(\displaystyle \frac{5}{6}\)  ⑤ \(\displaystyle \frac{25}{12} \)
⑥ \( -\sqrt{5} \) ⑦ \(\displaystyle -\frac{\sqrt{15}}{3} \) ⑧ \(\displaystyle -\frac{10\sqrt{15}}{9} \)
⑨ \( \displaystyle -\frac{5}{3} \)  ⑩ \(\displaystyle -\frac{5}{6}\)  ⑪ \(\displaystyle -\frac{25}{12} \)

サの選択肢

⓪ \(\displaystyle \frac{25}{6} \)  ① \(2\sqrt{5} \)  ② \(\displaystyle \frac{10+\sqrt{15}}{3} \)
③ \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{5}}{3} \)  ④ 4  ⑤ 5

 

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