問題 （★）
問141
[千葉大学 改]
定義域を\( 0 \leq x \leq 1 \)とする関数\( f_n(x) \)と\( f(x) \)を以下で定める。
\(\displaystyle f_{1}(x)=0 , f_{n+1}(x)=\int_0^x (f_n(t)-1)^2 dt ~ (n=1,2,3,\cdots ) \)
\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1} \)
実数\( a ~ (0\leq a \leq 1) \)に対して，極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} f_n(a) \)を求めよ。
【注】
元の問題では
(1)正の整数nに対して，不等式
\( 0 \leq f_n(x) \leq 1 ~ (0 \leq x \leq 1) \)
が成り立つことを証明せよ。
(2)正の整数nに対して，不等式
\( (-1)^n f_n(x) \geq (-1)^n f(x) ~ (0\leq x \leq 1) \)
が成り立つことを証明せよ。
とあり，そのあとの(3)が今回の問題です。(1)(2)の結果は証明なしで用いて良い。
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2月2日0時0分時点
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