問題 (

問141

[千葉大学 改]
定義域を\( 0 \leq x \leq 1 \)とする関数\( f_n(x) \)と\( f(x) \)を以下で定める。
\(\displaystyle f_{1}(x)=0 , f_{n+1}(x)=\int_0^x (f_n(t)-1)^2 dt ~ (n=1,2,3,\cdots ) \)
\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1} \)
実数\( a ~ (0\leq a \leq 1) \)に対して,極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} f_n(a) \)を求めよ。

【注】
元の問題では
(1)正の整数nに対して,不等式
\( 0 \leq f_n(x) \leq 1 ~ (0 \leq x \leq 1) \)
が成り立つことを証明せよ。
(2)正の整数nに対して,不等式
\( (-1)^n f_n(x) \geq (-1)^n f(x) ~ (0\leq x \leq 1) \)
が成り立つことを証明せよ。
とあり,そのあとの(3)が今回の問題です。(1)(2)の結果は証明なしで用いて良い。

 

答えがわかった方は下の解答フォームから応募してください。(コメント欄ではありません)

     

    約2週間程度で締め切ります(締め切り :2/15 23:59予定)

     

    正解者一覧

    現在正解者0名

    1  さま
    2
    3

    2月2日0時0分時点

     

    解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

    <高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。