数Bのベクトルです。平面ベクトルと空間ベクトルをまとめてますが本質的な差はありません。
四面体の性質の証明5選
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上野竜生です。今回は四面体の証明に関する問題を５つ集めました。基本～超難問までそろっていて，ここにある問題を学習すれば類題も同様に証明できるようになります。 例題１ 垂直条件に関する性質 四面体OABCについて次の性質ア […]
数B ベクトル
直線や平面とのなす角の求め方
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上野竜生です。今回は直線や平面とのなす角を計算します。前提として２つのベクトルのなす角は求められているとしますが，念のために復習しておきます。 復習 ２つのベクトルのなす角 空間ベクトル\(\vec{a},\vec{b} […]
法線ベクトルと平面の方程式
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上野竜生です。今回は平面の方程式と法線ベクトルを扱います。法線ベクトルは教科書ではあまり出てこないですが私立大学受験生は知っておきたい内容です。 平面の方程式の導き方 点H(p,q,r)を通りベクトル\(\vec{A}= […]
平面束・kによらず通る定直線
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上野竜生です。今回は平面束に関する問題を扱います。数IIで２つの円の交点を通る直線を求める時にf(x,y)+kg(x,y)と表したあの感覚を平面でもやるだけです。 ポイント 2つの平面f(x,y,z)=0,g(x,y,z […]
空間ベクトルの基本（平面ベクトルからの拡張）
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上野竜生です。今回は平面ベクトルで当たり前のように使っていた性質を空間ベクトルでも使えるように拡張します。今回は例題はなく，基礎事項の確認だけです。 平面では\( O(0,0),A(a_x ,a_y),B(b_x,b_y […]
座標軸/平面についての対称点・おろした垂線の足
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上野竜生です。今回は座標軸や座標平面・原点について対称移動させた点の求め方を紹介します。 原点対称は全部符号を逆にする (x,y,z)を原点について対称移動させた点の座標は(-x,-y,-z) 残りは○軸について対称と言 […]
球の接平面の方程式の求め方
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上野竜生です。今回は球の接平面の公式の導出と具体例を扱います。公式はキレイな形をしていますが，利用頻度は高くないので毎回導出することをオススメします。 球の接平面の式 中心をA(a,b,c)とする半径rの球 […]
ベクトルの関係式が与えられたときの軌跡の求め方
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上野竜生です。今回はベクトルの関係式が与えられたときの軌跡の求め方を紹介します。ベクトル方程式まで求めた後それが何の図形を表すかを答えるにはある程度の知識があるほうがいいです。しかし過去問を検索しましたがあまり出題されて […]
正五角形に関するベクトルの問題
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上野竜生です。今回はベクトルを用いた正五角形の問題です。この形で問う方が美しいと思います。正五角形の対角線の長さの求め方は平面図形ですでに学習済みだと思うのでベクトルを用いなくても解けるようになっているのが望ましいです。 […]
ベクトルから三角形の形状を求める問題
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上野竜生です。今回はベクトルの関係式が与えられたとき三角形がどのような形状かを求めます。大体は角度が90°か同じ長さの辺になるかを求めます。 例題１ \(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=\vec{AC}\c […]
垂心のベクトル
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上野竜生です。今回は垂心の位置ベクトルを求めます。垂心はその性質通り垂直条件から求めます。最後に一般の場合の結果も紹介します。 問題 三角形ABCにおいてAB=5 , BC=7 , CA=8 とし、三角形ABCの垂心をH […]
外心のベクトル
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上野竜生です。今回は外心の位置ベクトルを求めます。外心は垂直二等分線の性質から求めてもいいですし外接円の半径が同じ(AO=BO=CO)から求めてもいいです。最後に一般の場合の結果も紹介します。 問題 三角形ABCにおいて […]
内心のベクトル
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上野竜生です。今回は内心の位置ベクトルを求めます。内心は比較的簡単に求まるのでここで空間ベクトルでも求められるようにしておきます。 例題１ 三角形ABCにおいてAB=c , BC=a , CA=b とし、三角形ABCの内 […]
2つのベクトルの大きさからその一次結合の大きさの範囲を求める
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上野竜生です。今回は２つのベクトルの大きさが与えられたとき，その1次結合で表されたベクトルの大きさの取り得る範囲を求める方法を紹介します。 基本的なこと \(\vec{a},\vec{b} (\neq \vec{0}) […]