線形常微分方程式の解法

上野竜生です。線形常微分方程式の解法について紹介します。

まずは最もシンプルな場合です。yをxで微分したものをy'　，2回微分したものをy''　，3回微分したものをy'''・・・,n回微分したものを\( y^{(n)} \) と書くことにします。

つまり，右辺は0，左辺はy,y',y'',y'''などの和やそのスカラー倍のみで書かれているものの場合

まず「y」に1を，「y'」にλを，「y''」に\( \lambda^2 \)を，・・・「\( y^{(n)}\)」に\( \lambda^n \)を代入してできる方程式を解きます。その解をλ₁,λ₂,・・・,λ_nとします。

λの解に重解がないとき，\( y=C_1 e^{\lambda_1 x}+C_2 e^{\lambda_2 x} + \ldots + C_n e^{\lambda_n x} \)が常微分方程式の解になります。(\(C_1,C_2,\cdots ,C_n\)は任意定数)

λの解に重解があるとき，例えば\( λ_1 \)が重複度kの重解のときは\( e^{\lambda_1 x}\)の係数が\( C_1\)ではなく\( (C_{1,1}+C_{1,2}x+\cdots +C_{1,k}x^{k-1}) \)という風にk-1次式になります。(\(C_{1,1},\cdots ,C_{1,n},\cdots , C_{n,n}\)は任意定数)

例題

任意定数がC1,C2だったりA,B・・・だったりしますが特に意味はありません（見やすくするためです）

（１）右辺を移項するとy'-2y=0となるのでこれは線形常微分方程式です。

方程式はλ=2なので\( y=Ce^{2x} \)が解となります。

（２）　\( \lambda^4-2\lambda^3-\lambda^2+2\lambda=(\lambda+1)\lambda(\lambda-1)(\lambda-2) \)なので

この解はλ=-1,0,1,2となりもとの微分方程式の解は

\( y=C_1 e^{-x} + C_2 e^{0x} +C_3e^{1x}+C_4e^{2x} \\
=C_1 e^{-x} +C_2+C_3 e^x + C_4 e^{2x} \)

と求まります。

（３）\( \lambda^4-5\lambda^3+9\lambda^2-7\lambda+2=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\)なので

この解はλ=1(3重解),2です。よってもとの微分方程式の解は

\( y=[ ? ] e^x + C_2 e^{2x} \)の形になり，3重解なので[ ? ]は2次式になります。よって

\( y= (A+Bx+Cx^2)e^x+De^{2x} \)が解です。

（４）\( \lambda^2+1=0 \)の解はλ＝±i

よってもとの微分方程式の解は

\( y=C_1e^{ix}+C_2e^{-ix} \)

複素数も含めればこれでＯＫですがさらに計算することができます。

\( y=C_1(\cos{x}+i\sin{x})+C_2(\cos{x}-i\sin{x})\)

\( C_1,C_2 \)は定数（複素数かもしれない）のでさらに実数値関数になるように整理します。すると

\( y=A\cos{x}+B\sin{x} \)と書くこともできます。

右辺が0でない場合

右辺が0でない場合もまずは右辺が0だと思って解き，その解を求めます。

さらに（左辺）＝（右辺）の方程式の解をなんでもいいので１つ見つけてきます。

その２つの答えを足したものが解となります。

例題

（１）～（３）ともにy''-4y=0の解\( y=Ae^{2x}+Be^{-2x} \)までは見つけたものとします。

（１）なんでもいいのでy''-4y=12を満たすものを探します。意外とすぐにy=-3が見つかります。（基本的に右辺が多項式の場合，答えも多項式だと思えばいいです）よって答えは

\( y=Ae^{2x}+Be^{-2x}-3 \)となります。

（２）\( y=Ce^{x} \)が答えになりそう・・・と予想はできます。実際に左辺に代入すると\( C=-\frac{1}{3} \)となるので答えは\( y=Ae^{2x}+Be^{-2x}-\frac{1}{3}e^x \)となります。

（３）\( y=De^{2x} \)が答えになりそう・・・と予想できますが先ほどと違い，うまくいきません。なぜなら\( De^{2x} \)はすでに（右辺）＝０の場合の解になってしまっているからです。まるで重解をもっているようです。そこで\( y=Dxe^{2x} \)が答えになりそう・・・と予想します。これを左辺に代入すると

\( D(4+4x)e^{2x}-4Dxe^{2x}=4De^{2x}=e^{2x}\)となり\(D=\frac{1}{4} \)がわかります。よって答えは\( y=(A+\frac{1}{4}x)e^{2x}+Be^{-2x} \)となります。