上野竜生です。微分積分学(1年後期)の定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。

解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題は選択問題にしかありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください(下の例2参照)

例1: [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例2: \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例3: アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

問題PDFはこちら

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第1問(20点)

(1) 2変数関数
\[\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^n y}{x^2+y^2}    ((x,y)\neq (0,0)のとき) \\0      ((x,y)=(0,0)のとき)\end{array}\right.\]
について考える。n=1のときf(x,y)は原点で連続で[ア]。また,n=2のときf(x,y)は原点で全微分可能で[イ]。

①ある  ②ない

(2) f(x,y)は極座標変換\(x=r\cos{\theta} ,y=r\sin{\theta}\)で変換するとrのみの関数g(r)になるとする。このとき
\[\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{dg}{dr} \times [ウ]\]
と表される。

① \(\sin{\theta}\)  ② \(-\sin{\theta}\)  ③ \(\cos{\theta}\)  ④ \(r\sin{\theta}\)
⑤ \(-r\sin{\theta}\)  ⑥ \(r\cos{\theta}\)  ⑦ r  ⑧ 1

(3) \(e^{2x+6y}\)のマクローリン展開は
\( [エ] + [オ]x + [カ] y + [キ]x^2 + [ク]xy + [ケ] y^2 +R_3 \)
である。ただし\(R_3\)は剰余項である。また,さらに展開を続けると\(x^3 y^4\)の係数は[コ]となる。

第2問(30点)

\[ f(x,y)=x^3-24xy+8y^3 \]とする。
(1) 極値の候補(停留点)は原点と([サ],[シ])である。原点でのヘッセ行列は
\(\begin{pmatrix} [ス] & [セ] \\ [ソ] & [タ] \end{pmatrix}\)
であり,ヘッシアンが[チ]である。原点は[ツ]。また点(サ,シ)はヘッシアンが[テ]であり,[ト]。

< チ,テの選択肢 >
① 正 ② 0 ③ 負
< ツ,トの選択肢 >
① 極大である
② 極小である
③ 極大でも極小でもない
④ 極値であるかどうかは判定できない

(2) 実数x,yが\( x^2-2xy+4y^2=1 \)を満たしながら動くときのf(x,y)の最大・最小を求めたい。ラグランジュの未定乗数法を用いると
\(\displaystyle (x,y)=\left(\frac{[ナ] \pm \sqrt{[ニ] }}{[ヌ]} ,\frac{[ネ] \mp \sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \right) \)(複号同順)のとき最大値をとり,
\( \displaystyle (x,y)=\left([ヒ],\frac{[フ]}{[ヘ]}\right) \)のとき最小値をとる。

(3) (1)(2)より実数x,yが\( x^2-2xy+4y^2\leq 1 \)を満たしながら動くときのf(x,y)の最小値は[ホ]である。

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第3問(40点)

(1) \(\displaystyle \int_1^9 \int_1^{y^2} \frac{y}{x} dx dy= [マ] (\log{ [ミ] })-[ム] \)

(2) \(\displaystyle \int \int_D 48\sin{(x+y)}dx dy = [メ] \sqrt{[モ]}\)
ただし\(\displaystyle D=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0<x<y<\frac{2}{3}\pi \}\)

(3) \(\displaystyle \int_0^{\frac{1}{4}} \int_{\sqrt{y}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sin{(\pi x)}}{x} dx dy =[ヤ]\)

<[ヤ]の選択肢>
①\(\frac{1}{\pi}\)  ②\(\frac{1}{\pi^2}\)  ③\(\frac{2-\sqrt{2}}{2\pi}\)  ④\(\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2} \pi}{8\pi^2}\)

(4) \(\displaystyle \int \int_D e^{-2\sqrt{x^2+y^2}} dx dy=\frac{\pi}{[ユ]} \)
ただし\( D=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0<x<y \} \)

(5) \(\displaystyle \int \int_D \frac{\sqrt{1-(x+y)^2}}{1+(x-y)^2}dxdy = \frac{\pi^2}{[ヨ]} \)
ただし\( D=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0\leq x+y \leq 1 , 0 \leq x-y \leq 1\} \)

第4問(10点)

不等式\(x^2+4y^2 \leq z \leq 2x \)で表される領域の体積は\(\displaystyle  \frac{\pi}{[ラ]}\) である。

(問題は以上で終わりである)

 

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