問題 (

問70

立方体の8個の頂点を異なる8色で塗り分ける方法は何通りあるか求めたい。
ただし回転させて同じになるものはまとめて1個と数える。

異なる8色をA,B,C,D,E,F,G,Hとする。
Aをどの頂点に塗っても(回転させれば好きな位置に持っていけるので)一般性を失わない。
このとき立方体の8つの頂点をグループあ・い・う・えにグループわけをする。
グループあ: 頂点Aのみ
グループい: 頂点Aとの距離が立方体の辺の長さと等しい位置にある3つの頂点
グループう: 頂点Aとの距離が立方体の辺の長さの\(\sqrt{2} \)倍と等しい位置にある3つの頂点
グループえ: 頂点Aとの距離が立方体の辺の長さの\(\sqrt{3} \)倍と等しい位置にある1つの頂点
A以外の7色をグループい(3色)とグループう(3色)とグループえ(1色)にわけるやり方は[ ア ]通りある。
よってグループい・グループうの3色の塗り方の総数も考えると
立方体の8個の頂点を異なる8色で塗り分ける方法は全部で[ イ ]通りである。

 

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