今週の問題 問65

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問題 (

問65

次の空欄に当てはまる整数を答えよ。
9を99個ならべそのあとに89と続く整数
999999999・・・999989をAとする。\(\frac{1}{A}\)を小数で表すことを考えよう。
(1) A=10( ア ) – 11である。

(2) \(\displaystyle \frac{1}{A}=\frac{1}{10^{(ア)}-11}=\frac{1}{1-\frac{11}{10^{(ア)}}} \cdot \frac{1}{10^{(ア)}} \)
なので
\(\frac{1}{A}\)は初項が\( \frac{( イ )}{10^{(ア)}} \) , 公比が\(\frac{( ウ )}{10^{(ア)}} \)の無限等比級数の和に等しい。
(3) \(\frac{1}{A} \)を10進小数表示したとき小数点以下で最初に0以外の数字が来るのは小数第k位とするとk=( エ )であり小数第(2k)位の値は( オ )、小数第(3k)位の値は( カ )である。
(4) 小数第2020位は( キ )であり,小数第2019位は( ク )である。
(5) n=1,2,3,・・・の順に小数第(100n)位を調べると最初のうちは0が続くがn=( ケ )のときはじめて小数第(100n)位が0でなくなる。
ただし\(\log_{10}{11}=1.0413 \)として計算してよい。

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