問題 (

問56

次の空欄に整数(1ケタとも正とも限らない)を入れて文章を完成させよ。
1辺がaの正七角形ABCDEFGにおいてAC=b,AD=cとおく。
\(\displaystyle X=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2} \)の値を求めたい。
下の図の正七角形ABCDEFGにおいて\(\theta=\frac{\pi}{7} \)とおくと
∠BCA=θ , ∠ADC=θ , ∠ACD=θである。
正七角形
正七角形の外接円の半径をRとおくと正弦定理より
a=Rsinθ
b=Rsin(θ)
c=Rsin(θ)
よって
\(\displaystyle X=\frac{ウ^2R^2\sin^2{(ア\theta)}}{ウ^2R^2\sin^2{\theta}}+\frac{ウ^2R^2\sin^2{(イ\theta)}}{ウ^2R^2\sin^2{(ア\theta)}}+\frac{ウ^2R^2\sin^2{\theta}}{ウ^2R^2\sin^2{(イ\theta)}}\)
=(cos2θ+cos2θ+cos2θ)
=(cos2θ+cos4θ+cos8θ)
次に\(\displaystyle \alpha=\cos{\frac{2}{7}\pi}+i\sin{\frac{2}{7}\pi} \)とおく。
方程式z7=1の解はz=1,α,α23456であるから
α+α23456=
u=α+α24,v=α356とすると
u+v=,uv=
uの虚部は
sin2θ+sin4θ+sin8θ=sin2θ+sin4θ-sinθ>0なので
\(\displaystyle u=\frac{[サ]+\sqrt{[シ]} i}{[コ]}\)
よってこれらよりX=と求まる。

(空欄シの横のiはルートの外,分数の中の分子にあります)

 

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