上野竜生です。問94の答えを発表します。

問94

a,b,cを偶数とし,3次方程式
x3-ax2+bx-c=0の3つの解をα,β,γとする。
最高次の係数が1であり,αnnnを解にもつ3次方程式を
x3-anx2+bnx-cn=0
とおく。すべての自然数nに対し,an,bn,cnはすべて偶数であることを証明せよ。

 

答え

3つの解を\(\alpha,\beta,\gamma\)とすると
\(a=\alpha+\beta+\gamma \\ b=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha \\ \gamma=\alpha\beta\gamma \)
はすべて偶数
\(a_{n}=\alpha^n + \beta^n + \gamma^n \\ b_{n}=\alpha^n \beta^n + \beta^n \gamma^n + \gamma^n \alpha^n \\ c_n=\alpha^n \beta^n \gamma^n \)

よって\(c_n=(\alpha\beta\gamma)^n =c^n \)となりcは偶数だから\(c_n\)も偶数。

次に\(\alpha,\beta,\gamma\)は3次方程式
\(x^3-ax^2+bx-c=0 \)の解だから
\(\alpha^3-a\alpha^2+b\alpha-c=0 \)
両辺に\(\alpha^n \)をかけると
\(\alpha^{n+3}-a\alpha^{n+2}+b\alpha^{n+1}-c\alpha^n =0 \)
同様にして
\(\beta^{n+3}-a\beta^{n+2}+b\beta^{n+1}-c\beta^n =0\)
\(\gamma^{n+3}-a\gamma^{n+2}+b\gamma^{n+1}-c\gamma^n =0 \)
辺々加えると

\( a_{n+3}-aa_{n+2}+ba_{n+1}-ca_n =0 \cdots (*)\)

\(a_n\)が偶数であり,特にn=2とn≧4では4の倍数になることを数学的帰納法で示す。
\(a_1\)は仮定より偶数。

\(a_2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=a^2-2b \)

はa,bが偶数だから4の倍数。

\(a_3=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta \gamma \\ = a(a^2-2b-b)+3c \)

はa,b,cが偶数だから\(a_3\)も偶数。

n≧4のとき(*)より
\(a_{n+3}=aa_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n \)
a,b,cは偶数,帰納法の仮定より\(a_{n+2},a_{n+1},a_n\)は偶数だから各項は4の倍数で,和も4の倍数。
よって\(a_n\)は偶数で,特にn=2,n≧4では4の倍数。

\(b_n=\frac{1}{2}\{(\alpha^n+\beta^n+\gamma^n)^2-(\alpha^{2n}+\beta^{2n}+\gamma^{2n}) \}\\ = \frac{1}{2}(a_n^2-a_{2n} )  \)
\(a_n\)は偶数だから\(a_n^2\)は4の倍数。
n=2,n≧4のとき\(a_n\)は4の倍数だから\(a_{2n} \)は4の倍数。
よって\(\frac{1}{2}(a_n^2-a_{2n})\)は偶数。

以上より\(a_n,b_n,c_n\)はすべて偶数。

 

 

 

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