今週の問題 問85 答え

上野竜生です。問85の答えを発表します。

問85

a>0とする。A(-3,0),B(3,0),C(0,a)を頂点とする三角形ABCがある。
P(x,y)とおいたときAPの長さとBPの長さとCPの長さの和をf(x,y)とする。
(1) f(x,y)≧f(0,y)を示せ。
(2) f(x,y)が最小となるx,yの値を求めよ。

答え

(1)Q(0,y)とする。
AP+BP+CP≧AQ+BQ+CQを示せばよい。
\( CP=\sqrt{x^2+(y-a)^2} , CQ=\sqrt{0+(y-a)^2} \)よりCP≧CQ
またA’(-3,2y)とおくとA’P=AP , A’Q=AQであることに注意
A’B上にQがあるのでA’P+BP≧A’Q+BQ

折れ線の長さの最小を求める時の考え方を使っています。対称移動させてまっすぐ結ぶのが最小ですね。

よって以上を合わせると題意は成立。等号成立はx=0のときに限る。

(2) (1)よりx=0の場合のみを示せばよい。
\(f(0,y)=2\sqrt{9+y^2} + |a-y| \)
y≧aのとき\( f(0,y)=2\sqrt{9+y^2}+y-a \)は単調増加

y≦aのとき\( f(0,y)=2\sqrt{9+y^2}+a-y \)

特にy<0では単調減少。よって0≦y≦aの範囲だけ調べればよい。

yで微分すると
\(\displaystyle \frac{2y}{\sqrt{9+y^2}}-1 \)
\( 2y=\sqrt{9+y^2} \)つまり\( y=\sqrt{3} \)のとき微分係数が0。
よって増減表は以下の通り。
・\( a\geq \sqrt{3} \)のとき

\(\begin{array}{c|ccccc} y & 0 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots & a \\ \hline \frac{d}{dy}f(0,y) &  & – & 0 & + &  \\ \hline f(0,y) & a+6 & \searrow & a+3\sqrt{3} & \nearrow & 2\sqrt{a^2+9} \end{array}\)

このとき最小値は\(x=0,y=\sqrt{3} \)のとき\( a+3\sqrt{3}\)をとる。
・\( 0<a<\sqrt{3} \)のとき

\(\begin{array}{c|ccc} y & 0 & \cdots & a  \\ \hline \frac{d}{dy}f(0,y) &  & – &   \\ \hline f(0,y) & a+6 & \searrow & 2\sqrt{a^2+9}  \end{array}\)

このとき最小値は\(x=0 , y=a \)のとき\( 2\sqrt{a^2+9}\)をとる。

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