今週の問題 問80 答え

上野竜生です。問80の答えを発表します。

問80

\(f(x)=x^3 , g(x)=x^4-6x^2 \)とする。

(t,g(t))からy=f(x)に3本の異なる接線がひけるようなtの範囲を求めよ。

答え

\( f’(x)=3x^2 \)
y=f(x)上の点(s,f(s))からひいた接線の方程式は

\( y-f(s)=f’(s)(x-s) \)
\( y-s^3=3s^2(x-s) \)
\( y= 3s^2 x -2s^3 \)

これが(t,g(t))を通るから
\( t^4-6t^2= 3s^2 t -2s^3 \)

\( 2s^3-3t s^2 +(t^4-6t^2) =0 \)・・・①

①の左辺をF(s)とする。
sについての方程式①が異なる3つの実数解を持てばよい。

\( F’(s)=6s^2-6ts=0 \)よりs=0,t
よってt≠0かつF(0)F(t)<0 ならばよい。
\( (t^4-6t^2)(t^4-t^3-6t^2)<0 \)
\( t^4 >0 \)で割ると\( (t^2-6)(t^2-t-6)<0 \)

よって\( -\sqrt{6}<t<-2 , \sqrt{6}<t<3 \)

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