当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問79の答えを発表します。

問79 

a,b,cは正の実数とする。
\(\displaystyle \frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{bc}{b^2+c^2}=\frac{ca}{c^2+a^2} \)
が成立するならばa=b=cであることを証明せよ。

 

答え

<方針>
a,b,cのうち同じものがいくつあるか
(ア) 3つとも同じ
(イ) 2つが同じで1つが異なる
(ウ) 3つともバラバラ
背理法で示す。(イ),(ウ)で矛盾を示せばよい。

 

(イ)のとき対称性よりa=b≠cの場合だけ示せば十分
a=bならば\(\displaystyle \frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{1}{2} \)
このとき相加相乗平均の関係より
\(\displaystyle \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \geq 2 \)
等号成立はa=cのときなのでa≠cでは等号不成立。よって
\(\displaystyle \frac{ac}{a^2+c^2}=\frac{1}{\frac{a}{c}+\frac{c}{a}} \neq \frac{1}{2}= \frac{ab}{a^2+b^2} \)
となるから矛盾。

(ウ)のとき対称性よりa<b<cとしても一般性を失わない。
\(\displaystyle \frac{ab}{a^2+b^2}-\frac{ca}{c^2+a^2}=0 \)なので左辺を計算すると
\(\displaystyle \frac{a(bc^2+ba^2-ca^2-cb^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} \)
a>0より\( bc^2+ba^2-ca^2-cb^2=0 \)
因数分解すると\( (b-c)a^2-bc(b-c)=(b-c)(a^2-bc)=0 \)
b≠cと仮定しているので\( a^2=bc \)
しかし0<a<b<cのとき\( a^2<bc \)なので矛盾。

以上より(ア)となりa=b=cである。

 

正解者:0名

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。