今週の問題　問74　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問74の答えを発表します。

問74　★

面積が2である三角形ABCがある。
辺ABを7等分し，Aから順番に$ A , P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6 , B $とする。
辺BCを7等分し，Bから順番に$ B , Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6 , C $とする。
辺CAを7等分し，Cから順番に$ C , R_1, R_2, R_3, R_4, R_5, R_6 , A $とする。
赤青黄3つのサイコロを投げ，赤の目をa,青の目をb,黄の目をcとする。
このとき三角形$ P_a Q_b R_c $の面積が1以下になる確率を求めよ。
ただし必要ならば次の不等式を用いてよい。
$ (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) $・・・(*)

答え

$参考図$

三角形$ AP_a R_c $の面積は$\displaystyle 2 \cdot \frac{a}{7} \cdot \frac{7-c}{7} = \frac{2a(7-c)}{49} $
同様に三角形$ BQ_b P_a $の面積は$\displaystyle 2 \cdot \frac{b}{7} \cdot \frac{7-a}{7} = \frac{2b(7-a)}{49} $
三角形$ CR_c Q_b $の面積は$\displaystyle 2 \cdot \frac{c}{7} \cdot \frac{7-b}{7} = \frac{2c(7-b)}{49} $

よって三角形$ P_a Q_b R_c $の面積は三角形ABCの面積からこれら3つの三角形の面積を引いて
$\displaystyle 2-\frac{2a(7-c)}{49}-\frac{2b(7-a)}{49}-\frac{2c(7-b)}{49} $

これが1以下になればいいから
$\displaystyle 2-\frac{2a(7-c)}{49}-\frac{2b(7-a)}{49}-\frac{2c(7-b)}{49} \leq 1 $
$\displaystyle \frac{2a(7-c)}{49}+\frac{2b(7-a)}{49}+\frac{2c(7-b)}{49} \geq 1 $
$ 2a(7-c)+2b(7-a)+2c(7-b) \geq 49 $

$ 14(a+b+c)-2(ab+bc+ca) \geq 49 $・・・(**)であることが必要十分。

a,b,cはサイコロの目だから3≦a+b+c≦18である。
a+b+c=3,4のとき
(a,b,c)=(1,1,1),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)はすべて(**)を満たさない。
同様にa+b+c=17,18のとき
(a,b,c)=(6,6,6),(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)はすべて(**)を満たさない。

5≦a+b+c≦16のときA=a+b+cとおくと(*)より
$ 14(a+b+c)-2(ab+bc+ca)\\ \geq 14(a+b+c)-\frac{2}{3}(a+b+c)^2 \\ = -\frac{2}{3}A^2 + 14A \\ \displaystyle = -\frac{2}{3}(A-\frac{21}{2})^2 + \frac{441}{6} \\ \displaystyle \geq -\frac{2}{3}(5-\frac{21}{2})^2 +\frac{441}{6} \\ = \displaystyle \frac{160}{3} > 49 $
となるからすべて(**)を満たす。

サイコロの目の出方6³=216通りのうち，(**)を満たさないのは8通りだから(**)を満たすのは216-8=208通り。

よって求める確率は$\displaystyle \frac{208}{216}=\frac{26}{27} $

(*)の解説
$ (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) $の証明
(左辺)-(右辺)≧0を示す。
$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \\ = \frac{1}{2} \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \} \\ \geq 0 $

正解者：0名

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