当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問64の答えを発表します。

問64 

\( 0\leq x < 2\pi , 0 \leq y <2\pi \)の範囲で次の連立方程式の解の組(x,y)は全部で何個あるか?
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y} \\ \cos{(x^2+y^2)}=\sin{x}\sin{y} \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

 

答え

第1式の左辺を加法定理で展開すると
\(\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}=\cos{x}\cos{y} \)となるので
\(\sin{x}\sin{y}=0 \)
よって\(\sin{x}=0 \)または\(\sin{y}=0 \)
つまりx=0またはx=πまたはy=0またはy=π
第2式の右辺は0なので
\(\cos{(x^2+y^2)}=0 \)つまり
\(\displaystyle x^2+y^2= \frac{(2n-1)\pi}{2} \)・・・①
\( (x,y)=(0,0),(\pi,\pi),(0,\pi),(\pi,0) \)は①を満たさない。
x=0のとき①より
\(\displaystyle y^2=\frac{(2n-1)\pi}{2} \)
\(0 \leq y < 2\pi \)より\( 0 \leq y^2 < 4\pi^2 \)
∴\(\displaystyle \frac{1}{2}≦n<4\pi + \frac{1}{2} \)なので
1≦n≦13の13組解が存在する。
y=0のときも同様に13組存在する。
x=πのとき①より
\(\displaystyle  y^2 =\frac{(2n-1)\pi}{2}-\pi^2 \)
∴\(\displaystyle \pi + \frac{1}{2} \leq n < 5\pi+\frac{1}{2} \)
4≦n≦16の13組解が存在する。
y=πのときも同様に13組存在する。
以上より解は全部で52個。

 

正解者:1名(古春さま)

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。