今週の問題 問42 答え

上野竜生です。問42の答えを発表します。

問42

\(\displaystyle \int_2^{\pi} \frac{\tan{x}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}}dx \)の値を求めよ。

答え

\(\displaystyle I=\int_2^{\pi} \frac{\tan{x}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}}dx \)とする。

t=2-xと置換すると

\(\displaystyle I=\int_{0}^{2-\pi} -\frac{\tan{(2-t)}}{\tan{(2-t)}+\tan{t}}dt=\int_{2-\pi}^0 \frac{\tan{(2-t)}}{\tan{t}+\tan{(2-t)}}dt \)

\(s=t+\pi \)と置換すると

\(\displaystyle I=\int_{2}^{\pi} \frac{\tan{(2-s+\pi)}}{\tan{(s-\pi)}+\tan{(2-s+\pi)}}ds=\int_2^{\pi} \frac{\tan{(2-s)}}{\tan{s}+\tan{(2-s)}}ds\)

よって

\(\displaystyle I+I=\int_2^{\pi} \frac{\tan{x}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}}dx+\int_2^{\pi} \frac{\tan{(2-s)}}{\tan{s}+\tan{(2-s)}}ds \\
=\displaystyle \int_{2}^{\pi} \left\{ \frac{\tan{x}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}}+\frac{\tan{(2-x)}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}} \right\}dx \\
=\displaystyle \int_2^{\pi} 1 dx = \pi-2 \)

つまり\( 2I=\pi-2 \)となり\(\displaystyle I=\frac{\pi}{2}-1 \)

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