上野竜生です。問41の答えを発表します。

問41

\(\displaystyle \log_{2}{x}+\log_{3}{x}=\log_{a}{x} \)を満たす定数aの値は\(\displaystyle a=(ア)^{\log_{(イ)}{(ウ)}}\)である。(ア)(イ)(ウ)に1ケタの整数を入れよ。

 

答え

底を2で統一する。

\(\displaystyle \log_{2}{x}+ \frac{\log_{2}{x}}{\log_{2}{3}}=\frac{\log_{2}{x}}{\log_{2}{a}} \)より

\(\displaystyle \frac{1}{\log_{2}{a}}=1+\frac{1}{\log_{2}{3}}=\frac{\log_{2}{3}+1}{\log_{2}{3}}=\frac{\log_{2}{6}}{\log_{2}{3}} \)

よって\(\displaystyle \log_{2}{a}=\frac{\log_{2}{3}}{\log_{2}{6}}=\log_{6}{3} \)となり

\(\displaystyle a=2^{\log_{6}{3}} \)

以上より(ア)=2 , (イ)=6 , (ウ)=3

底を3で統一すると
\(\displaystyle a=3^{\log_{6}{2} }\)となり(ア)=3 , (イ)=6 , (ウ)=2
となりますがこれでもOKです。また底を6にすると計算の流れは少し変わりますが上記の2通りのどちらかの解がちゃんと出てきます。

 

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