上野竜生です。問40の答えを発表します。
問40 ★
6つの面に「０」「０」「０」「１」「１」「２」と書かれた六面体のサイコロをn回投げたとき、出た目の積が2以下になる確率をpnとする。pnが最小となるのはnがいくらのときか？
（サイコロはどの面がでる確率も等しいものとする。）
答え
出た目の積が0になる確率は\(\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n \)
出た目の積が1になる確率は\(\displaystyle \left(\frac{1}{3} \right)^n\)
出た目の積が2になる確率は\(\displaystyle n\left( \frac{1}{6} \right) \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}=\frac{n}{2} \left(\frac{1}{3} \right)^n \)
何回目に「２」が出るかを決めるのがn通りあるのでn倍する必要があります。
よって
\(\displaystyle p_n=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n + \left( \frac{n}{2}+1 \right) \left(\frac{1}{3} \right)^n \)
pn+1-pnの符号を調べる。
\(\displaystyle p_{n+1}-p_n \\ \displaystyle= 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \left( \frac{n+1}{2}+1 \right) \left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} - 1+\left(\frac{1}{2}\right)^n - \left( \frac{n}{2}+1 \right) \left(\frac{1}{3} \right)^n\\
=\displaystyle -\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \left( \frac{n+3}{6} \right) \left(\frac{1}{3} \right)^{n} +\left(\frac{1}{2}\right)^n - \left( \frac{n+2}{2} \right) \left(\frac{1}{3} \right)^n \\
=\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} - \frac{2n+3}{6} \left(\frac{1}{3} \right)^n \)
これをqnとおく。qnと0の大小を比較する。qnを6・3n倍すると
\(\displaystyle 6\cdot 3^n q_n = 3 \left( \frac{3}{2} \right)^n - (2n+3) \)
n=1のとき右辺=\(\frac{9}{2}-5 <0 \)
n=2のとき右辺=\(\frac{27}{4}-7<0 \)
n=3のとき右辺=\(\frac{81}{8}-9>0 \)
n≧3のとき\(\displaystyle 3 \left( \frac{3}{2} \right)^n - (2n+3) >0 \)を数学的帰納法で示す。n=3のときはすでに示した。
n=kで成立すると仮定する。つまり
\(\displaystyle 3 \left( \frac{3}{2} \right)^k > 2k+3 \)と仮定するとn=k+1のとき
\(\displaystyle 3 \left( \frac{3}{2} \right)^{k+1} - (2(k+1)+3) \\
>\displaystyle \frac{3}{2}(2k+3)-(2k+5)=k-\frac{1}{2}>0\)
よりn=k+1のときも成立。よって
qn=pn+1-pnはn=1,2のとき負。n≧3のとき正である。
p1>p2>p3<p4<p5<・・・よりn=3で最小値をとる。
正解者 1名（kuheiya さま）
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