今週の問題　問４　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問４の答えを発表します。

問４　★

定積分$ \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d\theta}{3-\cos{\theta}}$を求めよ。

答え

$\displaystyle t=\tan{\frac{\theta}{2}} $と置換する。

このとき，$ \displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{1+t^2} , \cos{\theta}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$となるから求める積分は

$ \displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{3-\frac{1-t^2}{1+t^2}}= \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{2dt}{3+3t^2-1+t^2}=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{dt}{2t^2+1} $

$ t=\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{x} $とおく。また$ \alpha $を，$ \tan{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{3}$を満たす角$ (0<\alpha< \frac{\pi}{2}) $とする。すると$ \displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\cos^2{x}}$より求める積分は

$ \displaystyle \int_{0}^{\alpha} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\cos^2{x}}dx}{2(\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{x})^2+1}=\int_{0}^{\alpha} \frac{\sqrt{2}}{2} dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\alpha$

$ \alpha= \arctan{\frac{\sqrt{6}}{3}}$なので求める答えは

$ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\arctan{\frac{\sqrt{6}}{3}}$

ほぼ高校範囲で解けるのですが最後の部分だけ大学レベルです。なお，最後まで完全に高校範囲で解ける積分も作れます。（パターンが少なすぎて全パターン網羅されている気がします）

正解者

1名　(いたかなやさま)

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>