上野竜生です。問37の答えを発表します。
問37 ★
pq+qr+rp=1111を満たす素数の組(p,q,r)をすべて求めよ。
p≦q≦rを満たすものだけで良い。
答え
【方針】素数は小さいほうから2,3,5,7,・・・となる。また2,3以外の素数はすべて6で割ると余りは1または5であることを使う。
p=2, q=2のとき
4+2r+2p=1111となるが左辺は偶数，右辺は奇数より不適。
p=2, q=3のとき
6+3r+2r=1111 ∴r=221=13×17 となり素数でないので不適。
p=2, q≧5のとき
2q+qr+2r=1111
(q+2)(r+2)=1115=5×223
q+2≧7なのでこれを満たす(q+2,r+2)の組は存在せず不適。
p=3, q=3のとき
9+3r+3r=1111
左辺は3の倍数，右辺は3で割ると1余るので不適。
p=3, q≧5のとき
3q+qr+3r=1111
(q+3)(r+3)=1120=25・5・7 より
q+3≧8, q+3≦r+3を満たす組は
(q+3,r+3)=(8,140),(10,112),(14,80),(16,70),(20,56),(28,40),(32,35)
よって(q,r)=(5,137),(7,109),(11,77),(13,67),(17,53),(25,37),(29,32)
このうちqまたはrが素数でないものを除外すると
(q,r)=(5,137),(7,109),(13,67),(17,53)
これらは条件を満たす。
p≧5のとき
5以上の素数は6で割ると余りが1,5のどれかである。
| Xを6で割った余り | Yを6で割った余り | XYを6で割った余り |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 5 | 5 |
| 5 | 1 | 5 |
| 5 | 5 | 1 |
であることに注意する。
p,q,rすべてが6で割った余り1のとき pq+qr+rpを6で割った余りは3
p,q,rのうち2つが余り1, 1つが余り5のときpq+qr+rpを6で割った余りは5
p,q,rのうち2つが余り5, 1つが余り1のときpq+qr+rpを6で割った余りは5
p,q,rすべてが6で割った余り5のとき pq+qr+rpを6で割った余りは3
となるのでpq+qr+rpを6で割った余りは1にはならない。
1111を6で割ると余りは1なのでp≧5のとき不適。
以上より答えは
(p,q,r)=(3,5,137),(3,7,109),(3,13,67),(3,17,53)
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