今週の問題 問36 答え

上野竜生です。問36の答えを発表します。

問36

2次方程式 x2+(2i+3)x+(3i+k)=0の実数解の個数が1個となるとき、実数kの値を求めよ。
iは虚数単位である。

答え

× よくある誤答例

判別式は(2i+3)2-4(3i+k)=5+12i-(12i+4k)=5-4k

判別式=0より\( \displaystyle k=\frac{5}{4} \)

判別式は解の公式のルートの中身なので判別式=0のとき重解です。
実数係数なら確かに実数解が1つとなりますが複素数係数では実数解が1つとは限りません。
実際\( k=\frac{5}{4} \)のとき,解は\( x=-\frac{2i+3}{2} \)となります。

○ 正答例

(x2+3x+k) + (2x+3)i =0 と変形できる。

xは実数解だから x2+3x+k=0・・・①かつ2x+3=0・・・②となる。

②より実数解は\( x=-\frac{3}{2} \)となる。これを①に代入すると

\( \frac{9}{4} – \frac{9}{2} + k=0 \)

これを解くと\( \displaystyle k=\frac{9}{4} \)

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