上野竜生です。問36の答えを発表します。
問36
2次方程式 x2+(2i+3)x+(3i+k)=0の実数解の個数が1個となるとき、実数kの値を求めよ。
iは虚数単位である。
答え
× よくある誤答例
判別式は(2i+3)2-4(3i+k)=5+12i-(12i+4k)=5-4k
判別式=0より\( \displaystyle k=\frac{5}{4} \)
判別式は解の公式のルートの中身なので判別式=0のとき重解です。
実数係数なら確かに実数解が1つとなりますが複素数係数では実数解が1つとは限りません。
実際\( k=\frac{5}{4} \)のとき，解は\( x=-\frac{2i+3}{2} \)となります。
実数係数なら確かに実数解が1つとなりますが複素数係数では実数解が1つとは限りません。
実際\( k=\frac{5}{4} \)のとき，解は\( x=-\frac{2i+3}{2} \)となります。
○ 正答例
(x2+3x+k) + (2x+3)i =0 と変形できる。
xは実数解だから x2+3x+k=0・・・①かつ2x+3=0・・・②となる。
②より実数解は\( x=-\frac{3}{2} \)となる。これを①に代入すると
\( \frac{9}{4} – \frac{9}{2} + k=0 \)
これを解くと\( \displaystyle k=\frac{9}{4} \)
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