今週の問題 問33 答え

上野竜生です。問33の答えを発表します。

問33

面積が8の正八角形の8つの頂点から無作為に3つを選んで三角形をつくるとき、その三角形の面積が2となる確率を求めよ。

答え

8個の頂点から3つの頂点を選ぶやり方は8C3=56通り。

できる三角形の種類は次の5通り。

5種類の三角形

①×8 ②×16 ③×16 ④×8 ⑤×8個

①の面積をa,②の面積をb,③の面積をcとする。

するとa+b+c=4である。

a+bは下の図の部分なので面積は2である。

a+bの求め方

よってc=2

また①と②は底辺(共通辺を底辺とみる)が同じで高さは②のほうが高いので

a<b

ゆえに0<a<1 , 1<b<2

①の面積はa<1なので2ではない。

②の面積はb<2なので2ではない。

③の面積はc=2なので2である。

④の面積は4-2a>2なので2ではない。

⑤の面積は8-3a-2b=8-2(a+b)-a=8-4-a=4-a>3なので2ではない。

面積が2になる三角形は③のみである。

よって求める確率は\(\displaystyle \frac{16}{56}=\frac{2}{7} \)

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