今週の問題 問13 答え

上野竜生です。問13の答えを発表します。

問13

(-1,1),(7,7)を焦点とし,原点を通る楕円の方程式を求めよ。

答え

楕円は焦点からの距離の和が等しいことを使う。まずはその距離を求める。

この楕円は原点を通るから焦点からの距離の和は\( \sqrt{2}+7\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)

よって

\( \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}=8\sqrt{2} \)

左辺第2項を右辺に移項し,両辺を2乗すると

\( (x+1)^2+(y-1)^2=128-16\sqrt{2}\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}+(x-7)^2+(y-7)^2 \)

√の項だけを左辺に,残りは右辺に移項すると

\( 16\sqrt{2}\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}
\\=128+x^2-14x+49+y^2-14y+49-x^2-2x-1-y^2+2y-1
\\=-16x-12y+224 \)

両辺16で割ると

\( \sqrt{2}\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}=-x-\frac{3}{4}y+14 \)

両辺2乗すると

\( 2(x-7)^2+2(y-7)^2
\\=2x^2-28x+98+2y^2-28y+98
\\=x^2+\frac{9}{16}y^2+196+\frac{3}{2}xy-28x-21y\)

整理すると\( x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{23}{16}y^2-7y=0 \)

係数を整数にするために16倍して答えは

\( 16x^2-24xy+23y^2-112y=0\)

最初の「焦点からの距離の和」のアイデアが重要です。理論的には回転移動や平行移動をして標準形に直すこともできますがすごく計算量が多くなります。参考程度に残しておきます。

αを\( \sin{\alpha}=\frac{3}{5} , \cos{\alpha}=\frac{4}{5} ,0<\alpha<\pi\)を満たす実数とする。

次の手順で求める。
1. x軸方向に-3,y軸方向に-4平行移動させる。
2. -α回転させる(これで標準形)
3. 標準形の式を求める。
4. α回転させる。
5. x軸方向に3,y軸方向に4平行移動させる。

1. まずx軸方向に-3,y軸方向に-4平行移動させると
焦点は(-4,-3),(4,3) 通る点は(-3,-4)

2. -α回転させると焦点は(±5,0)
通る点を計算するために複素数で考える。-3-4iを,原点中心に-α回転させると
\( (-3-4i)(\cos{(-\alpha)}+i\sin{(-\alpha)})\\=(-3-4i)(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i)\\=-\frac{12}{5}-\frac{16}{5}i+\frac{9}{5}i-\frac{12}{5}\\=-\frac{24}{5}-\frac{7}{5}i \)
なので通る点の座標は\( (-\frac{24}{5},-\frac{7}{5}) \)

3. (±5,0)を焦点とし,\( (-\frac{24}{5},-\frac{7}{5})\)を通る楕円の式を\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)とおくと
焦点の条件から\( a^2-b^2=25 \)
通る点の条件から\(\displaystyle \frac{576}{a^2}+\frac{49}{a^2-25}=25 \) (∵b2=a2-25)
これを解く。a2=Xとおき,分母を払うと
\( 576(X-25)+49X=25X(X-25)
\\ 625X-14400=25X^2-625X
\\ 25X^2-1250X+14400=0
\\ X^2-50X+576=(X-32)(X-18)=0 \)
X=a2≧25よりX=32 よって\( a=4\sqrt{2} , b=\sqrt{7} \)

4.5. 標準形で表された楕円上の点は\( (4\sqrt{2} \cos{\theta} , \sqrt{7}\sin{\theta} ) \)と表される。これをα回転移動し,x軸方向に3,y軸方向に4平行移動させると
\( (4\sqrt{2}\cos{\theta}+\sqrt{7}\sin{\theta}i)(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i)+(3+4i)
\\=\frac{16}{5}\sqrt{2}\cos{\theta}+\frac{4\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}i+\frac{12\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}i-\frac{3\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}+3+4i \)

よって求める楕円は媒介変数θを用いて
\( X=\frac{16\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}-\frac{3\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}+3 \\
Y=\frac{12\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}+\frac{4\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}+4 \)
とかける。ここからθを消去すればいい。

\( 4(X-3)=\frac{64\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}-\frac{12\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \\
3(Y-4)=\frac{36\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}+\frac{12\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \)
の両辺を加えると\( 4X+3Y-24=20\sqrt{2}\cos{\theta} \)

\( 4(Y-4)=\frac{48\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}+\frac{16\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \\
3(X-3)=\frac{48\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}-\frac{9\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \)
の両辺を引くと\( 4Y-3X-7=5\sqrt{7}\sin{\theta} \)

よって5600(sin2θ+cos2θ)=5600を使うと
\( 7(4X+3Y-24)^2+32(4Y-3X-7)^2=5600 \\
7(16X^2+9Y^2+576+24XY-144Y-192X)+32(16Y^2+9X^2+49-24XY+42X-56Y)=5600 \\
400X^2-600XY+575Y^2-2800Y+5600=5600 \)

よって25で割ると答えは

\( 16x^2-24xy+23y^2-112y=0 \)

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