当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問1の正解発表をします。

問1 問題

\( x^2-4x+2=0 \)の2つの解を\( \alpha , \beta \)とする。
\( g(\alpha)=\beta , g(\beta)=\alpha \)を満たす多項式\(g(x)\)を1つ求めなさい。
広告

答え

\( x^2-4x+2=0 \)の2つの解は\( 2 \pm \sqrt{2} \)である。

\( \alpha = 2-\sqrt{2} , \beta=2+\sqrt{2} \)として一般性を失わない。

\( g(x) \)は0次式(定数関数)ではありえない

\( g(x) \)が1次式のとき、\( g(x)=ax+b \)とおくと

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} g(\alpha)=a(2-\sqrt{2})+b&=&2+\sqrt{2} \\ g(\beta)=a(2-\sqrt{2})+b&=&2-\sqrt{2} \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

これを解くと、\( a=-1 , b=4 \)

よって求める答えは\( g(x)=-x+4 \)

 

よってこの問題の答えは「-x+4」ですが、もしすべて求めるとなったらどうするかというと・・・

 

 

\(g(x)\)を\(x^2-4x+2\)で割ったあまりを\(ax+b\)とおく。つまり、\( g(x)=P(x)(x^2-4x+2)+ax+b \)とおく。

\( g(\alpha)=a\alpha +b  ,  g(\beta)=a\beta +b \)なので上の議論と同様にして\(a=-1,b=4\)

よって求める答えは\( g(x)=P(x)(x^2-4x+2)-x+4 \)

 

「-x+4」以外の答えがあっているかどうかを判定するには求めた答えをg'(x)とし
g'(x)+x-4が\( x^2-4x+2 \)で割り切れるかを判定すればよい。

 

正解者

0名

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。