対数微分法

上野竜生です。今回は対数微分法について紹介します。

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対数微分とは

y=f(x)を微分したいがf’(x)の計算がわからない場合(主に指数関数だったり複雑な積になってるもの。もっと言えば対数をとると比較的シンプルになる場合),対数をとってから微分すると計算できる場合がある。

対数をとると logy=logf(x)
これをxで微分すると左辺は合成関数の微分より\(\displaystyle \frac{y’}{y} \)
\(\displaystyle \frac{y’}{y}=(\log{f(x)})’ \)
最後にyをかけてy=f(x)を代入すると
\( y’=f(x) (\log{f(x)})’ \)
と計算できる。
(証明は合成関数の微分より\(\displaystyle \log{(f(x)})’=\frac{f’(x)}{f(x)} \)だからそれを代入すれば明らか)

対数をとれば指数関数は掛け算に変化するのでこの方法で\( x^x , x^a , a^x \)などの指数関数の微分が容易にできる。また掛け算が足し算になるので複雑な因数の積の微分がさらに容易にできる。具体例は次の例題で見てみましょう。

例題

次の関数をxで微分せよ。
(1) \( y=x^x \)
(2) \( f(x)=x^{\alpha} \)
(3) \( a^x \)
(4) \( \displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{(x+1)(x-2)^2}{(2x+3)}}\)
答え(1)対数をとると
\( \log{y}=\log{x^x}=x\log{x} \)
xで微分すると
\(\displaystyle \frac{y’}{y}=\log{x}+x\cdot \frac{1}{x}=\log{x}+1 \)
よって\( y’=y(\log{x}+1)=x^x(\log{x}+1) \)
(2)対数をとると\( \log{f(x)}=\log{x^\alpha}=\alpha \log{x} \)
xで微分すると\( \displaystyle \frac{f’(x)}{f(x)}=\frac{\alpha}{x} \)
よって\(\displaystyle f’(x)=f(x) \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1} \)
これでαが実数のときすべてで\( (x^{\alpha})’=\alpha x^{\alpha-1} \)が成り立つことが示せました。
答え(3) 公式そのものですが忘れても対数微分を知っていれば復元できます。
\( y=a^x \)とおくと\( \log{y}=x \log{a} \)
xで微分すると\( \frac{y’}{y}=\log{a} \)
よって\( y’=y\log{a}=a^x \log{a} \)
(4) 頑張って微分もできますが対数微分を使うと楽です。
対数をとると
\(\displaystyle \log{|y|}=\log{\left| \sqrt[3]{\frac{(x+1)(x-2)^2}{(2x+3)}} \right|} \\ \displaystyle =\frac{1}{3} \left(\log{|x+1|}+2\log{|x-2|}-\log{|2x+3|} \right)\)
xで微分すると
\(\displaystyle \frac{y’}{y}=\frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-2}-\frac{2}{2x+3}  \right) \\ \displaystyle = \frac{(x-2)(2x+3)+2(x+1)(2x+3)-2(x+1)(x-2)}{3(x+1)(x-2)(2x+3)} \\ \displaystyle = \frac{4x^2+11x+4}{3(x+1)(x-2)(2x+3)}\)
よって\(\displaystyle y’=\sqrt[3]{\frac{(x+1)(x-2)^2}{(2x+3)}} \frac{4x^2+11x+4}{3(x+1)(x-2)(2x+3)}\)

対数をとることで3乗根がただの定数倍(3分の1倍)に変わるのがうれしいところですね。

対数微分はそこまで頻出ではないもののたまには出てきます。

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