上野竜生です。今回は指数関数・対数関数・三角関数の最大最小問題のうち,多項式の微分の形にもってこれるものを集めました。一見指数関数の問題や三角関数の問題に見えても結局3次関数などに帰着されることがあります。

例題1

\( x\leq \frac{1}{2} \)のとき,\(8^x+ 4^{x+1} -3\cdot 2^x \)の最大・最小値を求めよ。
答え\( t=2^x \)とおくと\( x\leq \frac{1}{2} \)より\( 0< t \leq \sqrt{2} \)
\( 8^x+ 4^{x+1}-3\cdot 2^x \\ = (2^x)^3 + 4\cdot 4^x -3\cdot 2^x = t^3+4t^2-3t \)
\(f(t)=t^3+4t^2-3t \)とおく。
\(f'(t)=3t^2+8t-3=(3t-1)(t+3) \)
よって\( 0< t \leq \sqrt{2} \)における増減表は下の通り\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
x & 0 & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & \sqrt{2} \\ \hline
f'(x) & & – & 0 & + & \\ \hline
f(x) & 0 & \searrow & -\frac{14}{27} & \nearrow & 8-\sqrt{2} \\ \hline
\end{array}
指数関数の問題よって最大値は\(t=\sqrt{2} \),つまり\( x=\frac{1}{2} \)のとき\( 8-\sqrt{2} \)
最小値は\( t=\frac{1}{3} \),つまり\( x=-\log_{2}{3}\)のとき\( -\frac{14}{27} \)

 

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例題2

\( \log_{2}{x}+\log_4{(3-x)} \)の最大値を求めよ。
答え真数条件よりx>0かつ3-x>0,つまり0<x<3
底を2にそろえると
\( \log_{2}{x} +\frac{\log_2{(3-x)}}{\log_{2}{4}} \\ = \frac{1}{2}(2\log_{2}{x}+\log_{2}{(3-x)} ) \\ = \frac{1}{2} \log_2{(x^2(3-x)) } \)
よって
\( f(x)=x^2(3-x)=-x^3+3x^2 \)とおき,これの最大を調べる
\( f'(x)=-3x^2+6x \)より増減表は以下の通り\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
x & 0 & \cdots & 2 & \cdots & 3 \\ \hline
f'(x) & 0 & + & 0 & – & \\ \hline
f(x) & 0 & \nearrow & 4 & \searrow & 0  \\ \hline
\end{array}
対数関数の問題よってf(x)の最大値はx=2のとき4
もとの関数の最大値は
\( \frac{1}{2}\log_2{4} =1 \)

例題3

\(\sin{3x}+\cos{2x}+2\sin{x} \)の最大・最小値を求めよ。そのときのxの値は求めなくてもよい。
sinもcosもあるし角度もバラバラですが,公式を思い出すとこの関数はsinxだけで書けるのでt=sinxと置くことを考えましょう。
答え\( \sin{3x}+\cos{2x}+2\sin{x} \\ = 3\sin{x}-4\sin^3{x} + 1-2\sin^2{x} +2\sin{x} \\ = -4\sin^3{x}-2\sin^2{x}+5\sin{x}+1 \)
t=sinxとおくと-1≦t≦1で
\( -4t^3-2t^2+5t+1 \)
これをf(t)とおく。
\( f'(t)=-12t^2-4t+5 =-(2t-1)(6t+5) \)\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & -1 & \cdots & -\frac{5}{6} & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & 1 \\ \hline
f'(x) & & – & 0 & + & 0 & – & \\ \hline
f(x) & -2 & \searrow & f(-\frac{5}{6}) & \nearrow & f(\frac{1}{2}) & \searrow & 0  \\ \hline
\end{array}
よって最大値は
\(\displaystyle f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1=\frac{5}{2}\)
最小値は
\(\displaystyle f(-\frac{5}{6})=-\frac{125}{54}-\frac{25}{18}-\frac{25}{6}+1 \\ = \displaystyle \frac{125-75-225+54}{54}=-\frac{121}{54} \)

何かをtとおけば3次関数の問題になるものばかりでしたね。tとおいたらtの取り得る範囲を求めることを忘れないようにしましょう。定義域を間違えると答えも変わってしまいます。

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