関数の極限の求め方　その５　（積分を含んだ関数と区分求積法）

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上野竜生です。今回は極限の計算のうち積分を含んだものを紹介します。区分求積法が重要なので先に紹介し、あとで積分と微分の定義を用いたパターンも紹介します。

区分求積法

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 f(x)dx $

イメージは$ f(\frac{k}{n})\cdot \frac{1}{n} $で縦の長さが$ f(\frac{k}{n}) $，横の長さが$ \frac{1}{n} $の長方形の面積になります。これをk=1からnまでn個足すとほとんどf(x)の面積に等しくなり，nの極限を取ると完全に一致するようになります。

$区分求積法の図$

積分区間の0→1については少し注意する必要があります。Σの最初と最後に注目します。今回はk=1→nです。k=1のとき$ f(\frac{k}{n})=f(\frac{1}{n})≒f(0) $,k=nのとき$f(\frac{k}{n})=f(\frac{n}{n})=f(1) $なので0→1までの積分です。

例　$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=2n}^{5n-1} \sin{\frac{k}{n}} $

f(x)=sinxとおけばいいのは気づきますがΣの中がk=2n→5n-1となっています。k=2nのときf(k/n)=f(2)で，k=5n-1のときf(k/n)→f(5)（n→∞)になることに注意すると積分区間は2→5になります。これに注意して解答を作成しましょう。

答えf(x)=sinxとおくと求める和は
$ \displaystyle \int_2^5 f(x) dx = [-\cos{x}]_2^5=\cos{2}-\cos{5} $

ぱっと見で公式の形に似てるけどちょっと違うな・・・ってときは無理やり公式の形に変形してみましょう。

まず$\frac{1}{n} $を無理やり外に出し、残った部分を$\frac{k}{n} $だけの式に無理やり変形することがポイントです。

区分求積法の例題

まずは基本問題です。数IIIの積分を習っていればできるはずです。習っていなければ一旦飛ばしてもいいでしょう。

(1)　$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 $
(2)　$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} $
(3)　$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=3n-4}^{5n+6} e^{\frac{k}{n}} $

答え(1)　$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2 \\ = \displaystyle \int_0^1 x^2 dx =\frac{1}{3} $

＜別解＞この程度ならΣ計算できる。
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n^3} \\ =\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})=\frac{1}{3} $

答え(2)　$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \\ =\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx $
x=tanθとおくと
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^2{\theta}} \cdot \frac{d\theta}{\cos^2{\theta}} \\ =\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta= \frac{\pi}{4} $
(3)　$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=3n-4}^{5n+6} e^{\frac{k}{n}} \\ \displaystyle =\int_3^5 e^x dx = e^5-e^3 $

＜別解＞等比数列なのでΣ計算できそうだが...
Σの中身は等比数列なので計算すると
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{e^{\frac{5n+7}{n}}-e^{\frac{3n-4}{n}}}{n(e^{\frac{1}{n}}-1)} $(*)
このあとの極限計算が難しくなります。ちなみに$ t=\frac{1}{n} $とおき$ f(x)=e^x $として微分係数の定義を用いると
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} n(e^{\frac{1}{n}}-1)= \lim_{n\to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} \\ =\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{e^t-1}{t}=\lim_{t \to +0} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=f'(0)=1 $
これを用いると(*)$ =e^5-e^3$が導けます。

次の問題はかなり難しい応用問題です。紹介するのをやめるか悩みましたが一応書きました。難関大学を目指す人以外は飛ばしてよいでしょう。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(4n)!n!}{(3n)!(2n)!}\right)^{\frac{1}{n}} $

答え$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(4n)!n!}{(3n)!(2n)!}\right)^{\frac{1}{n}}\\ =\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \frac{(4n)(4n-1)(4n-2)\cdots (4n-n+1)}{(2n)(2n-1)(2n-2)\cdots (2n-n+1)}\right)^{\frac{1}{n}} \\ =\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \frac{(3n+1)(3n+2)\cdots (3n+n)}{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}\right)^{\frac{1}{n}} $
ここで対数を取ると対数関数の連続性より
$\displaystyle \log{} (\lim_{n\to \infty} \left( \frac{(3n+1)(3n+2)\cdots (3n+n)}{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}\right)^{\frac{1}{n}} ) \\ =\displaystyle \lim_{n\to \infty} \log{} \left( \frac{(3n+1)(3n+2)\cdots (3n+n)}{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}\right)^{\frac{1}{n}} \\ =\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\log{(3n+k)}-\log{(n+k)}) \\ =\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\log{(3+\frac{k}{n})}-\log{(1+\frac{k}{n})}) \\ =\displaystyle \int_0^1 \log{(3+x)}-\log{(1+x)} dx \\ = [ (x+3)\log{(x+3)}-(x+3) - (x+1)\log{(x+1)}+(x+1) ]_0^1 \\ =4\log{4}-4-2\log{2}+2-3\log{3}+3-1 \\ = 6\log{2}-3\log{3} $
よって元の極限値は
$\displaystyle e^{6\log{2}-3\log{3}}=\frac{2^6}{3^3}=\frac{64}{27} $

積分と微分の定義を用いるパターンの例題

この例題は「区分求積法」を使う例題ではありませんが式の中に積分が入っているパターンなのでついでに紹介しておきます。

次の極限を求めよ
(1)　$\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\int_3^x e^{-t^2}dt }{x-3} $
(2)　$\displaystyle \lim_{x \to 2} \int_4^{x^2} \frac{e^{t^2}}{x-2} dt $

答え(1) $e^{-x^2} $の原始関数をF(x)とすると$F'(x)=e^{-x^2} $
求めるものは微分係数の定義より
$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{F(x)-F(3)}{x-3}=F'(3)=e^{-9}=\frac{1}{e^9} $
(2) $e^{x^2} $の原始関数をF(x)とすると$F'(x)=e^{x^2} $
$s=x^2 $とおくと微分係数の定義より
$\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{\int_4^{x^2} e^{t^2}dt }{x^2-4}=\lim_{s \to 4} \frac{F(s)-F(4)}{s-4} =F'(4)=e^{16} $
よって求めるものは
$\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{\int_4^{x^2} e^{t^2}dt}{x^2-4} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=4e^{16}$

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

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