方程式が共役な解とセットで現れることの証明

上野竜生です。実数係数多項式がx=αを解に持つならばαと共役複素数も解にもつことは有名な事実だと思います。これを証明します。

実数係数多項式f(x)=0が\( x=\alpha\)を解にもつならば共役複素数\( x=\overline{\alpha} \)も解に持つ

\( f(x)=a_n x^n+ a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2+ a_1 x+a_0 =0 \)

が\( x=\alpha \)を解に持つから

\( a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_2 \alpha^2 +a_1 \alpha+ a_0 =0 \)

両辺に共役複素数をとると

\( \overline{a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_2 \alpha^2 +a_1 \alpha+ a_0} =\overline{0} \)

\( \overline{a_n} \bar{\alpha}^n + \overline{a_{n-1}} \bar{\alpha}^{n-1} + \cdots + \overline{a_2} \bar{\alpha}^2 +\overline{a_1} \bar{\alpha}+ \overline{a_0} =0 \)

ここで係数は実数だから\( \overline{a_i}=a_i \)なので

\( a_n \bar{\alpha}^n + a_{n-1} \bar{\alpha}^{n-1} + \cdots + a_2 \bar{\alpha}^2 +a_1 \bar{\alpha}+ a_0 =0 \)

つまり\( f(\overline{\alpha})=0 \)となるので\( x=\overline{\alpha} \)も解である。

有理数係数多項式f(x)=0が\( x=a+\sqrt{b} \)を解にもつならば\( x=a-\sqrt{b} \)も解に持つ

当然ですが\(x=a-\sqrt{b} \)を解に持つならば\( x=a+\sqrt{b} \)も解に持ちます。同様に示せます。またa,bは当然有理数です。

[証明]

上の複素数の場合と全く同様。

複素数の場合の証明で用いた性質は次の4つ。

・\( \overline{\alpha+\beta}=\bar{\alpha}+\bar{\beta} \)

・\( \overline{\alpha\beta}=\bar{\alpha}\bar{\beta} \)

・\( \overline{\alpha^n}=\bar{\alpha}^n \)

・\(\alpha\)が実数ならば\( \bar{\alpha}=\alpha \)

つまり\( \overline{a+\sqrt{b}}=a-\sqrt{b} , \overline{a-\sqrt{b}}=a+\sqrt{b} \)と定めると上の性質のうち3つ目までは成り立ち，4つ目は

・\(\alpha\)が有理数ならば\( \overline{\alpha}=\alpha \)

が成り立つ。よって全く同様の式で証明ができる。

とりあえず結果は絶対に知っておきましょう。超有名事実です。