極値を持つ条件(数III範囲)

上野竜生です。今回は極値をもつ条件に関する問題を紹介します。

極値を持つ条件(数III)

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ポイント

f(x)がx=aで極値をもつ ⇒ f'(a)=0
f'(a)=0 でも f(x)がx=aで極値をもつとは限らない。
f'(a)=0かつx=aの前後でf'(x)の符号がマイナスからプラスに変わればx=aで極小値をもつ。
f'(a)=0かつx=aの前後でf'(x)の符号がプラスからマイナスに変わればx=aで極大値をもつ。
f'(a)=0かつx=aの前後でf'(x)の符号が変化しなければx=aは極値ではない。

発展

f'(a)=0かつf”(a)>0ならばx=aで極小値をもつ
f'(a)=0かつf”(a)<0ならばx=aで極大値をもつ
[∵f”(a)>0ならばf'(x)はx=aの前後で単調増加。f'(a)=0だからx=aの前後で負から正に符号変化している。2つめも同様。]
f'(a)=0かつf”(a)=0ならば極大値をもつか極小値をもつか極値をもたないかは判定できない。(別の方法で判定しなければならない)

f”(a)が正なら極小、負なら極大です。反対に覚えやすいので注意しましょう。

例題1

\(\displaystyle f(x)= \frac{x+1}{x^2+a}\)とする。
(1) f(x)がx=1で極値をもつような定数aの値を求めよ。
(2) f(x)が極値をもつようなaの範囲を求めよ。

まずはf'(x)=0となるようなxがないと話にならないのではじめの第一歩はf'(x)を計算することです。(1)ではf'(1)=0を解いてaの値を出すだけでは不十分です。必ず符号変化をチェックしましょう。

答え\(\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+a – (x+1)\cdot 2x}{(x^2+a)^2} =\frac{-x^2-2x+a}{(x^2+a)^2}\)
(1) \(\displaystyle f'(1)=\frac{a-3}{(a+1)^2} \)
x=1で極値をもつにはf'(1)=0でなければならないからa=3
逆にa=3のときは \(\displaystyle f'(x)=\frac{-(x-1)(x+3)}{(x^2+3)^2} \)となり
x=1の前後でf'(x)の符号は正から負に変わっているので極大値である。よってa=3
(2) f'(x)=0が解をもつかどうかを調べるには分子\(-x^2-2x+a=0 \)が解をもつか調べればよい。
\( x^2+2x-a=0 \)・・・①の判別式をDとする。ここで次に注意する。
D>0⇒ ①は異なる2つの実数解をもつ。つまり解の前後で①の左辺は符号変化する。
D=0⇒ ①は重解をもつ。つまり解の前後で①の左辺は符号変化しない。
D<0⇒ ①は実数解をもたない。
よって求める条件はD>0である。
D/4=1+a>0 つまりa>-1

【補足】 a≦0のときy=f(x)の定義域に\( x^2+a=0\)つまり\( x=\pm \sqrt{-a} \)は入っていません。
よって①の解が2つとも\( x=\pm \sqrt{-a} \)ならばマズイのです。少なくとも1つは違う解でなければなりません。
割と明らかですが一応見ておきます。
a≦0のとき\( x^2+2x-a=0 \)・・・①の異なる2つの解がともに\( x^2+a=0 \)・・・②を満たすと仮定すると②は高々2つの解\( x=\pm \sqrt{-a} \)しかもたないので
\( x^2+2x-a=k(x-\sqrt{-a})(k-(-\sqrt{-a}))=k(x^2+a) \)とかけるはず。しかしxの係数を比較すると2=0となり矛盾。よって①の解のうち少なくとも1つは②を満たさない。
正確な論証が問われる試験ではここまで述べてからa>-1と結論付けましょう。

例題2

\( f(x)=e^{2x}-e^x-ax\)とする。
(1) f(x)が極小値をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) f(x)が極大値をもつようなaの範囲を求めよ。
答え\( f'(x)=2e^{2x}-e^x-a \)
f'(x)=0が解をもち,その前後で符号が変化するか調べる。
ex=AとおくとA>0
\( 2A^2-A=a \)がA>0で解をもちその前後で符号が変化するか調べる。
\( \displaystyle 2A^2-A= 2(A-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{8} \)よりグラフは下の通り。
極値をもつ条件の参考図
(1) これとy=aが共有点をもち,かつその前後で2A2-A-aが負から正に変わればよいので\( a>-\frac{1}{8} \) (∵赤い部分と共有点をもつ)
(2) これとy=aが共有点をもち,かつその前後で2A2-A-aが正から負に変わればよいので\( -\frac{1}{8}<a<0 \) (∵青い部分と共有点をもつ)

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