当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。円の伸開線の性質をまとめてみました。

インボリュートの性質

媒介変数表示

インボリュートの媒介変数表示は次の通り

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=a(\cos{\theta}+\theta\sin{\theta})\\y=a(\sin{\theta}-\theta\cos{\theta} )\end{array} \right.\end{eqnarray}\)

厳密にはこれは円の伸開線です。これは円に巻き付けた糸をピンと張ったままほどくときの糸の先端の軌跡です。形が少し複雑で対称性がなく,また囲まれた面積などはほぼ出題されないでしょう(囲まれないため)。回転体も出る可能性は低いです。

インボリュート グラフ

ここでは曲線の長さを丁寧に解説します。

 

 

広告

曲線の長さ

a>0とする。0からxまでのインボリュートの曲線の長さは\( \frac{1}{2}ax^2 \)

[証明]

\( \displaystyle \int_0^x \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta \\ = \displaystyle \int_0^x \sqrt{(-a\sin{\theta}+a\sin{\theta}+a\theta\cos{\theta})^2+(a\cos{\theta}-a\cos{\theta}+a\theta\sin{\theta})^2}d\theta\displaystyle \\ = \displaystyle a\int_0^x \sqrt{\theta^2 (\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})}d\theta \\ = \displaystyle a\int_0^x \theta d\theta \\ = \displaystyle \left[\frac{1}{2} a\theta^2\right]_0^x \\ = \displaystyle \frac{1}{2}ax^2 \)

 

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。