∫1/(1+cosx)dx , ∫1/(1+sinx)dxなどの計算

上野竜生です。今回は\( \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1+\sin{x}}dx , \int \frac{1}{1-\sin{x}}dx \)の計算を解説します。

∫dx/(1±cosx),∫dx/(1±sinx)の計算

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\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx \)

<重要>
1±cosxの形が出たら半角の公式かも!?

方針1:分母分子に1-cosxをかける

最も思いつきやすい方法ですが上の<重要>を使った方針2のほうが楽です。また方針2のほうが\( \sqrt{1+\cos{x}}\)の積分などに応用するのが簡単なので実はあまりオススメではありません。

答え\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\cos{x}} dx=\int \frac{1-\cos{x}}{1-\cos^2{x}}dx \\
=\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2{x}} – \int \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} dx \)
ここで第1項は公式\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2{x}}=-\frac{1}{\tan{x}}+C \),第2項はt=sinxと置換すると(\(\frac{dt}{dx}=\cos{x}\))
\( \displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}- \int \frac{dt}{t^2}
=\displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}+t^{-1}+C\\
=\displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}+\frac{1}{\sin{x}}+C\)
 なお公式自体を忘れた場合はt=tanxとおいて置換積分することになります。
\( \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2{x}} dx \\
=\displaystyle \int \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} dx \\
=\displaystyle \int \frac{1}{t^2} \cdot (\tan{x})’ dx\\
=\displaystyle -\frac{1}{t} +C=-\frac{1}{\tan{x}}+C \)

方針2:半角の公式を利用する

慣れないと思いつきにくいですが簡単なので是非理解したいところです。

答え\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx\\
=\displaystyle \int \frac{1}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}dx\\
=\displaystyle \tan{\frac{x}{2}}+C\)

答えが一致することの確認

方針1と方針2は見かけの答えが違います。実は同じなのですが一応チェックしてみます。

\( \displaystyle \tan{\frac{x}{2}}=-\frac{1}{\tan{x}}+\frac{1}{\sin{x}} \)を示す。

(右辺)
\( \displaystyle =\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}=\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}=\tan{\frac{x}{2}}\)
=(左辺)

\( \displaystyle \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx \)

ほぼ同様なので略解のみ書きます。

方針1:分母分子に1+cosxをかける

答え\( \displaystyle \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx = \int \frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}dx=-\frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\sin{x}}+C\)

方針2:半角の公式の利用

答え\(\displaystyle \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx = \int \frac{1}{2\sin^2{\frac{x}{2}}} dx=-\frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}}+C\)

\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\sin{x}}dx \)

方針1:分母分子に1-sinxをかける

今度はt=cosxと置換することに注意してください。ほぼ同様なので略解です。

答え\( \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin{x}}=\int \frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}}dx=\tan{x}-\frac{1}{\cos{x}}+C\)

方針2:半角の公式の利用

sinxだと半角の公式が使えないので\( \sin{x}=\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}\)の関係を使ってcosにしてから計算します。略解のみ示します。

答え\( \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin{x}}=\int \frac{dx}{1+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}}=\int \frac{dx}{2\cos^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}\\ \displaystyle=-\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}+C \)

\( \displaystyle \int \frac{1}{1-\sin{x}} dx \)

方針1:分母分子に1+sinxをかける

答え\( \displaystyle \int \frac{dx}{1-\sin{x}}=\int \frac{1+\sin{x}}{\cos^2{x}}dx=\tan{x}+\frac{1}{\cos{x}}+C\)

方針2:半角の公式を利用

答え\( \displaystyle \int \frac{dx}{1-\sin{x}}=\int \frac{dx}{1-\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}}=\int \frac{dx}{2\sin^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}\\ \displaystyle=\frac{1}{\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}+C\)

2個目からは略解ですが1個目が理解できれば補えるはずです。ぜひ補って理解してみてください。方針1でも悪くないですが方針2でできるようになることをオススメします。

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