平行四辺形の領域での2変数関数の最大・最小

上野竜生です。平行四辺形が定義域となる問題では最大最小問題を解く上で最初の1ステップが思い浮かびにくいかもしれません。その1ステップを紹介し,それ以降の部分は復習として例題を1問解いてみます。

平行四辺形の領域上の2変数関数の最大最小

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領域が平行四辺形の場合

下の例題を見たほうが早いですがうまく変数変換します。領域を表す式に使われているもの(○x+△y)を丸ごとu,vとおくと領域が長方形になり独立した変数の問題に帰着されることがあります。

例題

1≦x+2y≦4 , -5≦3x-y≦3のとき3x2+2y2の最大・最小を求めよ。
答えu=x+2y , v=3x-yとおく。1≦u≦4 , -5≦v≦3
x,yについて解くと
\(x=\frac{1}{7}u+\frac{2}{7}v , y=\frac{3}{7}u-\frac{1}{7}v \)
これを3x2+2y2に代入すると
\(\displaystyle 3\left(\frac{1}{7}u+\frac{2}{7}v\right)^2 + 2\left(\frac{3}{7}u-\frac{1}{7}v \right)^2 \\
=\displaystyle \frac{3(u+2v)^2+2(3u-v)^2}{49}=\frac{3u^2+12uv+12v^2+18u^2-12uv+2v^2}{49}\\
\displaystyle =\frac{3}{7}u^2+\frac{2}{7}v^2 \)
よって最大値はu=4,v=-5のとき,つまり\(x=-\frac{6}{7}, y=\frac{17}{7}\)のとき14
最小値はu=1,v=0のとき,つまり\(x=\frac{1}{7} , y=\frac{3}{7} \)のとき\(\frac{3}{7} \)
一般にはx,yの式にxyの項が含まれていないからと言ってu,vの式に変換したときuvの項が含まれないとは限りません。uvの項が含まれると少し面倒になります。(このタイプの解き方は多変数関数の最大・最小問題の解き方を参照してください)

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