f(x,y)g(x,y)>0の表す領域

上野竜生です。今回はf(x,y)g(x,y)>0のタイプの領域の図示の方法を紹介します。

基本

手順　（正攻法）

1.　境界となるf(x,y)=0,g(x,y)=0を図示する。
2.　あとは上の「基本」と見比べて斜線をつける。

これだと普通ですね。問題を解いてみますがさらに裏技があります。

例題１

x²+y²-4=0は原点を中心とする半径2の円，
x²-4x+y²=0⇔(x-2)²+y²=4は(2,0)を中心とする半径2の円なので境界は簡単に書けます。

あとは境界線のどちら側が≦0かを判定すればよいのですが「基本」に戻って考えると少し時間がかかります。こういうときの裏技は

領域内の適当な1点を選んでそれが条件を満たすか（満たすなら斜線。満たさないなら斜線を塗らない）

でわかります。たとえば(-1,0)は図のイの部分にありますが(-1,0)を元の式に代入すると
(-3)・5=-15≦0なのでイの部分は斜線です。同様のやり方でア・ウ・エも確かめればア・ウは条件を満たさずイ・エが条件を満たします。よって答えは次の通りです。なお交点などの座標は省略しています。

もう１つ裏技

境界を１つ超えるごとに「もとの式に代入したときの正負」が入れ替わる！

つまり，境界を１つ超えるごとに「斜線/斜線じゃない」が入れ替わる！

と覚えておいても問題ないでしょう。

つまりこの例題１なら「イ」が条件を満たすとわかった瞬間，ア・ウ・エは確かめなくても「アはイの１つ隣だから×」「ウはイの１つ隣だから×」「エはウの１つ隣だから○」とわかるのです。

ここまでを理解したうえでちょっと複雑な例題２を考えてみましょう。

例題２

先ほどと同様(-1,0)を確かめると(-1,0)は条件を満たしません。よって答えは下のようになります。（交点の座標などは省略）

いかがでしたか？この法則がわかれば計算時間を短縮させることができますよ。