上野竜生です。サイクロイドは有名な曲線で入試頻出です。性質をまとめました。
サイクロイド
定直線状を円が滑らずに転がるときの円周上の点の軌跡のことをサイクロイドという。
サイクロイドの媒介変数表示
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=a(\theta-\sin{\theta}) \\ y=a(1-\cos{\theta}) \end{array} \right.\end{eqnarray}
以下では円が「1周」回転するものとする。つまり媒介変数表示でθの範囲は0≦θ≦2πとする。
サイクロイドとx軸で囲まれる面積は\( 3\pi a^2\)
\(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta= 2\pi \\
\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin{\theta} d\theta=\int_{0}^{2\pi} \cos{\theta}d\theta=0 \\
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^2{\theta} d\theta=\int_{0}^{2\pi} \cos^2{\theta}d\theta=\pi \\
\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin^3{\theta} d\theta=\int_{0}^{2\pi} \cos^3{\theta} d\theta=0 \)
[証明]
\( \displaystyle \int_{x=0}^{x=2\pi a} y dx \\
= \displaystyle \int_{0}^{2\pi} a(1-\cos{\theta})a(1-\cos{\theta})d\theta \left(∵\frac{dx}{d\theta}=a(1-\cos{\theta})\right)\\
= a^2 \displaystyle \int_{0}^{2\pi} 1-2\cos{\theta}+\cos^2{\theta} d\theta \\
=a^2 \displaystyle (2\pi + \pi ) \\
=3\pi a^2
\)
サイクロイドとx軸で囲まれる部分をx軸を中心に1回転させてできる回転体の体積は\( 5\pi^2 a^3\)
[証明]
\( \displaystyle \int_{x=0}^{x=2\pi a} \pi y^2 dx \\
\displaystyle =\pi \int_{0}^{2\pi} a^2(1-\cos{\theta})^2 a(1-\cos{\theta})d\theta \\
=\pi \displaystyle a^3\int_{0}^{2\pi}(1-3\cos{\theta}+3\cos^2{\theta}-\cos^3{\theta}) d\theta \\
=\pi a^3(2\pi -0+ 3\pi -0)\\
=5\pi^2 a^3 \)
サイクロイドの曲線の長さは\(8a\)
[証明]
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}d\theta \\
= \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2(1-\cos{\theta})^2+(a\sin{\theta})^2} d\theta \\
= \displaystyle a \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-2\cos{\theta}+\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}} d\theta\\
=\displaystyle a \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2-2\cos{\theta}} d\theta \\
=\displaystyle a \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4\sin^2{\frac{\theta}{2}}} d\theta \\
=\displaystyle a \int_{0}^{2\pi} 2\sin{\frac{\theta}{2}} d\theta \\
=\displaystyle a \left[ -4\cos{\frac{\theta}{2}} \right]_{0}^{2\pi} \\
=8a \)
エピサイクロイド（外サイクロイド）
半径aの円に外接しながら半径bの円が滑らずに転がる時，bの円の円周上の定点の軌跡を外サイクロイドという。媒介変数表示は
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=(a+b)\cos{\theta}-b\cos{(\frac{a+b}{b}\theta)}\\ y=(a+b)\sin{\theta}-b\sin{(\frac{a+b}{b}\theta) }\end{array} \right.\end{eqnarray}\)
特にa=bのとき
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = 2a\cos{\theta}-a\cos{2\theta}=2a(1-\cos{\theta})\cos{\theta}+a\\ y=2a\sin{\theta}-a\sin{2\theta}=2a(1-\cos{\theta})\sin{\theta} \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
となり，カージオイドと呼ばれる。これは入試でも頻出。
\( r=1+\cos{\theta} \)と書かれますが平行移動や対称移動をすれば同じ形であることがわかります。
また，曲線の名称を答える問題は出ません。
さらにa=2bのとき，
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x =3b\cos{\theta}-b\cos{3\theta} \\ y=3b\sin{\theta}-b\sin{3\theta} \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
となり，ネフロイドと呼ばれる。これも入試でたまに出ます。
逆にそれ以外は滅多に出ません。
ハイポサイクロイド（内サイクロイド）
半径aの円に内接しながら半径bの円が滑らずに転がる時，bの円の円周上の定点の軌跡を内サイクロイドという。媒介変数表示は
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x= (a-b)\cos{\theta}+b\cos{(\frac{a-b}{b}\theta)}\\ y=(a-b)\sin{\theta}-b\sin{(\frac{a-b}{b}\theta)} \end{array} \right.\end{eqnarray} \)
特にa=4bのとき
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x =3b\cos{\theta}+b\cos{3\theta}=4b\cos^3{\theta}\\ y=3b\sin{\theta}-b\sin{3\theta}=4b\sin^3{\theta}\end{array} \right.\end{eqnarray} \)
をアステロイドといい，入試で頻出。
それ以外はあまり出てきません。
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