分数関数のグラフの書き方・定義域・漸近線

上野竜生です。今回は分数関数のグラフの書き方や定義域・値域・漸近線の求め方と、逆に定義域や漸近線がわかっているときの分数関数の求め方などについて紹介します。

\( \displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d} \)のグラフ

一般の場合

まず注意すべきこととしてc=0ならただの一次関数になるので今回の議論からは除外する。つまりc≠0であると仮定する。

\(\displaystyle \begin{eqnarray} y &=& \frac{ax+b}{cx+d} \\ &=& \frac{a}{c}+ \frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d} \\ &=&  \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}} \end{eqnarray} \)

\(\displaystyle \frac{bc-ad}{c^2} \)が定数であることに注意するとこれは反比例のグラフ
\(\displaystyle y=\frac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x} \)をx軸方向に\(\displaystyle -\frac{d}{c} \)，y軸方向に\(\displaystyle \frac{a}{c} \)平行移動したものである。

特に定義域は\(\displaystyle x \neq -\frac{d}{c} \)[分母≠0]
値域は\(\displaystyle y \neq \frac{a}{c} \)である。

反比例のグラフには漸近線x=0,y=0があるので平行移動させると\(\displaystyle x=-\frac{d}{c} , y=\frac{a}{c} \)が漸近線となる。

なのでまとめると
\(\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d} \)はc=0のとき高々一次関数，ad-bc=0のとき定数関数であるがこれ以外の時は
反比例のグラフを平行移動したものになる。
特にx軸に平行な漸近線とy軸に平行な漸近線がある。

一般のa,b,c,dを含んだ式を暗記しておくのは大変なので式変形を理解しておきましょう。次の具体例で学習しましょう。

例題１　式からグラフ・漸近線を求める

答え(1)(i)
\(\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{2x}{3x-1} &=& \frac{\frac{2}{3}(3x-1)+\frac{2}{3}}{3x-1} \\ &=& \frac{2}{3} + \frac{\frac{2}{3}}{3x-1} \\ &=& \frac{2}{3} + \frac{\frac{2}{9}}{x-\frac{1}{3}} \end{eqnarray}\)
よって\(\displaystyle y=\frac{\frac{2}{9}}{x} \)のグラフをx軸方向に\(\displaystyle \frac{1}{3} \)，y軸方向に\(\displaystyle \frac{2}{3} \)平行移動したグラフとなるからグラフは下の通り。

このように分数関数のグラフはかくのがやや大変です。1度は書けるようにしておくべきですが出題頻度も考えると何度も練習して時間短縮までするようなものではありません。

例題２　（逆バージョン）

【解２】のほうが素直な解き方ですが計算がやや複雑なので【解１】でも良いということを知っておきましょう。