部分分数に分解する方法

上野竜生です。部分分数に分解すれば数学の問題が解きやすくなることが多いです。いくつか例題を出します。

例題１

この問題を解くだけなら恒等式のページで解説したように左右の係数を比較するとか数値代入するなどの方法でできます。

（解）両辺にx(x+1)をかけると

1=a(x+1)+bx=(a+b)x+a

係数を比較するとa+b=0 , a=1

ゆえにa=1 , b=-1

これが解けるようになると次の問題に便利です。

例題２

\( \displaystyle \begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &=& \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right) \\
&=& \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+ \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \\
&=& 1-\frac{1}{n+1} \\
&=&\frac{n}{n+1} \end{eqnarray}\)

Σを習ってない人はまだわからないと思いますが，あとでまた部分分数を使います。数列の和のところと積分のところで出てくるので部分分数に分解する問題は係数だけわかるのではなく左辺を見て右辺全体が出せるようにしましょう

今の例題１なら次の問題でも解けるようにしてほしいです。

例題１’

答えは例題１の右辺にa=1,b=-1を代入した

\(\displaystyle  \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \)となります。

係数だけでなく右辺全部を求める場合，まったく手掛かりがないとどうしようもありませんが，実は手掛かりがあります。それを解説します。

これだけでは伝わらないと思うので例題をいくつか出します。なお，係数を求めるのは例題１と同じなので省略します。

例題３

これについて鉄則通りに計算すると答えは

(1) \( \displaystyle  \frac{a}{x} + \frac{b}{x-2} \)　\( (a=-\frac{1}{2} , b=\frac{1}{2}) \)

(2) \( \displaystyle \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1} \)　\( (a=\frac{1}{3} , b=-\frac{1}{3} , c=\frac{1}{3} ) \)

(3) \( \displaystyle \frac{ax+b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+1} \)　\( ( a=-\frac{1}{4} , b=\frac{11}{4} , c=\frac{1}{4} ) \)

となります。＜注＞というのは同じ因数で次数が2以上\( (x-1)^2 \)のような場合は

\( \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2} = \frac{a'x+b'}{(x-1)^2} \)の左辺または右辺のように分解できます。

「部分分数に分解」というのは露骨に勉強することはないでしょうけれど突然当たり前のように使いますのでできるようにしましょう。