○の倍数判定法まとめ

上野竜生です。○の倍数の問題は本来中学入試レベルですが,大学入試でも場合の数の問題などでたまに出るので紹介します。基本的に証明はほぼワンパターンです。

倍数判定法

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2・4・8の倍数

2の倍数 下1ケタが2の倍数
4の倍数 下2ケタが4の倍数
8の倍数 下3ケタが8の倍数

[nが8の倍数⇔nの下3ケタが8の倍数]の証明

nの下3ケタをyとするとn=1000x+y(x,yは整数)とおける。

1000は8の倍数だからnを8で割った余りとyを8で割った余りは等しい。

よってnが8の倍数⇔yが8の倍数 である。

5・25・125の倍数

5の倍数 下1ケタが5の倍数
25の倍数 下2ケタが25の倍数
125の倍数 下3ケタが125の倍数

3・9の倍数

3の倍数 各位の和が3の倍数
9の倍数 各位の和が9の倍数

[証明]たとえば4ケタの整数n=abcdとする(千の位がa,・・・,一の位がd)とするとn=1000a+100b+10c+d=a+b+c+d+(999a+99b+9c)

()内は3の倍数かつ9の倍数なので4ケタの場合はこれで証明できた。一般の桁数の場合でも同様。

6の倍数など

このようなものは「6の倍数=2の倍数かつ3の倍数」 という風に判断すればよい。つまりnが6の倍数⇔nの各位の数字の和が3の倍数かつ,一の位が偶数 である。

11の倍数

(例)1234567

下から2ケタずつ区切る。(1|23|45|67)

それらの和が11の倍数であるときに限りもとの数は11の倍数。

この場合,1+23+45+67=136は11の倍数ではないので元の数も11の倍数ではない。

[証明]これもn=abcdとおく。ただしdは下2ケタ。(さっきの例だとd=67),cはその上2ケタ(c=45)・・・と言う風にするとn=1000000a+10000b+100c+d=a+b+c+d+(999999a+9999b+99c)

( )内は11の倍数なので元の数は11の倍数。同様にして3ケタずつ区切れば111の倍数が示せ,つまり111=37×3より37の倍数判定法も導ける。

7の倍数

例:123456654321は7の倍数か?

[手順1] 下から3ケタずつ区切り交互に色分けする(今回は黒と赤で色分けします)

123|456|654|321

[手順2] 黒同士の和と赤同士の和を求める。

黒:456+321=777
赤:123+654=777

[手順3] それらの差が7の倍数ならば元の数も7の倍数。

今回は777-777=0が7の倍数なので123456654321は7の倍数。

[証明] 1001=7×11×13を使う

下から3ケタずつ区切りabcdとする。つまり,元の数は
1000000000a+1000000b+1000c+d
=1001000000a+1001000b+1001c+d-1000000a-1000b-c
下線部は7の倍数なので7mとおく。すると

n=-1000000a-1000b-c+d+7m
=-1001000a-1001b-c+d+1000a+b-c+d

下線部は7の倍数なので7kとおく。すると

n=1000a+b-c+d+7(m+k)
=1001a-a+b-c+d+7(m+k)
=-a+b-c+d+7(m+k+143)

となるので-a+b-c+dが7の倍数なら元の数も7の倍数。

一般の桁数でも同様です。また同様の議論で13の倍数も言えます。(下線部は7の倍数と言いましたが実際は1001の倍数なので13の倍数でもあります)

これでかなり示せました。最後に応用問題を出してみます。大学入試ではほぼ出ないのでサクっと答えを見てもいいでしょう。

応用1

271828182845904523は11の倍数か?

答え 2ケタずつ区切る。

27|18|28|18|28|45|90|45|23

これらの和は322

このぐらいならもう計算できるが「322が11の倍数」かどうかを判定するのだから322をさらに2ケタずつ区切れば良い。
3|22

これらの和は25。これは11の倍数でないので322は11の倍数ではない。

322が11の倍数ではないので元の長い整数も11の倍数ではない。

応用2

1ケタだけ虫食いになっている13ケタの整数
123456[?]654321を37で割ると余りは32であった。[?]に入る数はいくらか?
答え123456[?]654321を37で割ると余りは32だから
123456[?]654321-32は37の倍数。123456[?]654289が37の倍数になれば良い。3ケタずつ区切ると

1|234|56[?]|654|289

これらの和は1738+[?]

これが37の倍数になれば良い。
1738を37で割った余りは36だから[?]=1のとき題意は成立。

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