媒介変数表示のグラフの書き方と重要な例

上野竜生です。媒介変数表示のグラフの書き方の一般論と重要な例を紹介します。

グラフの書き方【媒介変数編】

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x=f(t), y=g(t)のグラフの書き方の基本

1. 対称性をチェックする。

具体的には

f(t’)=f(t),g(t’)=-g(t)を満たすt’が存在すればx軸対称

f(t’)=-f(t),g(t’)=g(t)を満たすt’が存在すればy軸対称

f(t’)=-f(t),g(t’)=-g(t)を満たすt’が存在すれば原点対称

です。t’の求め方はありません。ただし,\( t’=\frac{\pi}{2}-t , \pi – t , 2\pi -t\)は1度確かめてみる価値はあるでしょう。

2. \( \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \)を計算し,増減表を書く

このとき増減表は\( t, \frac{dx}{dt} , x , \frac{dy}{dt} , y \)の5行で書くのが良いでしょう。

3. 通る点をプロットし,増減表を参考に結ぶ

tの値を適当にいろいろ変えてそれらを結んでいきます。ただし\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)を計算すると(どちらに凸か?など)大きな間違いを防げるので計算しておくとよいでしょう。

結局適当にtをいろいろ変えて滑らかに結んでいくのが最善です。逆に言えば地道です。なので有名なグラフは覚えておけばこの地道な作業の時間がとられずに済むというわけです。以下では有名な例について実際に書いてみます。

例1:リサジュー曲線

\( x=\sin{\theta} , y=\sin{2\theta} (0\leq \theta \leq 2\pi) \)

手順1

\( \sin{(\pi-\theta)}=\sin{\theta} , \sin{2(\pi-\theta)}=-\sin{2\theta} \)よりx軸対称

\( \sin{(2\pi-\theta)}=-\sin{\theta} , \sin{2(2\pi-\theta)}=-\sin{2\theta} \)より原点対称

以上より\( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \)の範囲だけ考えてx軸対称,原点対称にかけば良い。

手順2

\( \frac{dx}{d\theta}=\cos{\theta} , \frac{dy}{dt}=2\cos{2\theta} \)なので増減表は次のようになります。

\(\begin{array}{c|ccccc}
x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{4} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline
\frac{dx}{dt}& + & + & + & + & 0 \\ \hline
x & 0 &  & \frac{\sqrt{2}}{2} &  & 1 \\ \hline
\frac{dy}{dt} & + & + & 0 & – & – \\ \hline
y & 0 & & 1 & & 0 \end{array}\)

\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{2\cos{2\theta}}{\cos{\theta}} \)(=h(θ)とおく)なのでこれも参考に増減を考えます。

たとえば\( \theta=0 \)のときの点(0,0)から\( \theta=\frac{\pi}{4} \)のときの点\( (\frac{\sqrt{2}}{2},1) \)までまっすぐ結ぶのか上に凸で結ぶのか・・・などこれだけでは判定できません。方法として手順3で示すように間の\( \theta=\frac{\pi}{6} \)などの点をとり,それと滑らかに結ぶか,または\( \frac{dy}{dx} \)を利用して傾きを求める方法などがあります。

\( h(0)=2 \)なので原点付近の傾きは2,
\(\displaystyle  \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}-0}h(\theta)=-\infty \)なので\( \theta=\frac{\pi}{2} \)のときの点(1,0)付近の傾きは-∞

などして形を決めていくことができます。

手順3

今回は特にプロットする必要はないですがより正確に(自信をもつために)書くならたとえば\( \displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}\)のとき\( \displaystyle \left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) , \( \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3} \)のとき\(\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)などもプロットしてもよいでしょう。

最終的にグラフは次のようになります。

リサジュー曲線

おわかりいただけたように非常に面倒です。時間もかかるのであまりグラフをかかせない大学も多いです。ですが知っておいたほうが有利なのは間違いありません。そこである程度有名なのは結果だけ覚えることにしましょう。

例2:リマソン

\( r=1+2\cos{\theta} (0\leq \theta < 2\pi)\)

極座標表示ですが媒介変数表示もできます。

\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=(1+2\cos{\theta})\cos{\theta} \\ y=(1+2\cos{\theta})\sin{\theta} \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

以下これを利用してグラフを書けばよい。ただし例1に比べて出題頻度も下がり,計算が増え,\( \frac{dy}{d\theta}=0 \)を満たす\( \theta \)が中途半端な数なので計算過程は省略します。結果のみを示します。

リマソン

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