2次曲線の性質

上野竜生です。2次曲線は覚えることが多いです。暗記事項をまとめてみました。

放物線　\( y^2=4px\)

焦点と準線までの距離が等しい点の軌跡のこと。

・焦点は(p,0)

・準線はx=-p

・原点が頂点

・x軸対称

・放物線上の点\( (x_0 ,y_0 ) \)を通る接線の方程式は\( y_0 y=2p(x+x_0) \)

・媒介変数表示は\( (pt^2,2pt) \)

なおxとyを入れ替えて\(x^2=4py\)とすると性質もすべてxとyが入れ替わるだけで同じです。

楕円 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

2つの焦点までの距離の和が一定（長軸の長さ）である点の軌跡のこと。

・4点(a,0),(0,b),(-a,0),(0,-b)を通るように円を拡大・縮小させてかけばよい。

・x軸，y軸，原点対称で中心は原点。

・軸の長さは「2a」「2b」であり，長いほうが長軸，短いほうを短軸という。焦点は長軸上にある。

・楕円上の点\( (x_0,y_0) \)を通る接線の方程式は\( \displaystyle \frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1 \)

・媒介変数表示は\( (a\cos{t} , b\sin{t}) \)

a>b>0のとき

長軸の長さが2a,短軸の長さが2b

焦点は\( (\pm \sqrt{a^2-b^2},0) \)

b>a>0のとき

長軸の長さが2b,短軸の長さが2a

焦点は\( (0,\pm \sqrt{b^2-a^2})\)

双曲線 \( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1\)

2つの焦点までの距離の差が一定である点の軌跡のこと。

・x軸，y軸，原点対称。中心は原点

・漸近線がある。その式は\( \displaystyle \frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0\)

焦点がx軸のとき

・右辺は+1

・焦点は\( ( \pm \sqrt{a^2+b^2},0) \)

・頂点は\( (\pm a ,0) \)

・2つの焦点までの距離の差は2a

・双曲線上の点\( (x_0,y_0) \)を通る接線の方程式は\( \displaystyle \frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1 \)

・媒介変数表示は\( \displaystyle \left(\frac{a}{\cos{t}},b\tan{t}\right) \)

焦点がy軸のとき

・右辺は-1

・焦点は\( (0, \pm \sqrt{a^2+b^2}) \)

・頂点は\( (0, \pm b) \)

・2つの焦点までの距離の差は2b

・双曲線上の点\( (x_0,y_0) \)を通る接線の方程式は\( \displaystyle \frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=-1\)

・媒介変数表示は\( \displaystyle \left( a\tan{t} , \frac{b}{\cos{t}} \right) \)

離心率e

焦点と，焦点を通らない直線（準線）からの距離の比がe:1になる点の軌跡は2次曲線になる。

e=0のときはこの定義ではうまくいかないかもしれないですが，とりあえず円の離心率は0ということにしておきます。

なお，極方程式\(\displaystyle  r=\frac{a}{1+e\cos{\theta}} \)は焦点を極とし，離心率がeの2次曲線になります。

実際変形してみると
r+e(rcosθ)=a
r=a-ex
r²=(a-ex)²
x²+y²=e²x²-2aex+a²
(1-e²)x²+2aex+y²=a²

となりここで述べたこととつじつまが合ってきますね。

とりあえずこのぐらい暗記しておけば残りは普通の数学の知識で解けます。特に2次曲線は2次式と相性が良く判別式の利用が頻繁に出てきます。計算量はどうしても多くなるので計算が多いからとあきらめずに頑張りましょう。これらの性質を忘れてもある程度は復元できますがやはり計算量が多くなります。