余事象の確率

上野竜生です。余事象で計算するほうが楽な確率の計算をしましょう。

余事象の確率

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余事象

POINT事象Aの確率=1-(事象Aが発生しない確率)

Aの確率が計算しにくいときはこの公式で計算できます。

例題1

箱に赤玉6個,白玉4個入っている。この中から無作為に4個とるとき,赤玉が少なくとも1つ含まれる確率を求めよ。
答え余事象を考える
赤が1つも含まれていない確率を計算する。
10個の中から4個をとるやり方は10C4=210通り。
白4個とるやり方は1通りなので赤が1つも含まれない確率は\(\frac{1}{210}\)
よって赤が少なくとも1つ含まれる確率は
\(\displaystyle 1-\frac{1}{210}=\frac{209}{210} \)

例題2

成功する確率がpであるゲームをn回行うとき,少なくとも1回は成功する確率を求めよ。

少なくとも1回成功 の否定は「すべて失敗」

成功する の否定は「成功しない=失敗する」なので余事象を2回使います。

失敗する確率は1-pであることに注意します。

答え失敗する確率qはq=1-p
余事象よりすべて失敗する確率を求めて1から引けばよい。
n回すべてが失敗である確率はqn=(1-p)n
よって少なくとも1回成功する確率は1-(1-p)n
慣れてくればわざわざqという文字をおかなくても理解できるようになります。つまりいきなり「n回すべて失敗の確率は(1-p)n」と書いてもOKです。

例題3

A,B,Cさんの3人でバスケットボールのシュートをする。シュートが成功する確率は3人とも等しく\(\frac{1}{4} \)であるとする。A,Bさんの2人のみが成功する確率を求めよ。

よくある間違いは「Aさんが成功×Bさんが成功」=\(\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{16} \)というものです。

2人のみが成功するということはCさんは失敗しないといけないということです。失敗する確率も掛けないといけないということを忘れがちなので注意しましょう。

答え失敗する確率は\( 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \)
AさんとBさんが成功し,Cさんが失敗する確率なので
\(\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{64} \)

まとめると

POINT成功する確率が与えられれば失敗する確率もわかる!

「少なくとも~」という言葉が見えたら余事象の可能性大!

直接計算するのが不可能or複雑なときは余事象で何とかなるかも!?

です。頑張ってください。

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