ベクトル方程式(角の二等分線)

上野竜生です。今回は角の二等分線のベクトル方程式を紹介します。

ベクトル方程式(角の二等分線)

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基本

角の二等分線のベクトル方程式

上の図の三角形OABにおいて∠AOBの二等分線をひきABとの交点をCとするとAC:BC=OA:OB
よって角の二等分線上に点PをとるとPは次のベクトル方程式を満たす。
\(\displaystyle \vec{OP}=k\vec{OC} = k\frac{|\vec{OB}|\vec{OA}+|\vec{OA}|\vec{OB}}{|\vec{OA}|+|\vec{OB}|}\)・・・①

ベクトルだらけで式が少し複雑にみえますがただm:nに内分するベクトルの公式にあてはめただけです。mやnがベクトルの大きさで書かれていてベクトルだらけにみえるかもしれませんがここまでは十分導けるでしょう。

応用

①式をさらに変形します。
\(\displaystyle \vec{OP}= k\cdot \frac{1}{|\vec{OA}|+|\vec{OB}|} (|\vec{OB}|\vec{OA}+|\vec{OA}|\vec{OB})\\
\displaystyle = k\cdot \frac{|\vec{OA}||\vec{OB}|}{|\vec{OA}|+|\vec{OB}|}\left( \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|}+\frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} \right) \)
ここで
\(\displaystyle k\cdot \frac{|\vec{OA}||\vec{OB}|}{|\vec{OA}|+|\vec{OB}|}\)は実数値であるからこれを新たにk’とおくと
\(\displaystyle \vec{OP}= k’\left( \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|}+\frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} \right) \)・・・②
となり①と②は同値なので②も角の二等分線のベクトル方程式です。

角の二等分線といわれて①式は導けると思いますが問題文で②の形で表現されていたとき、角の二等分線だとは気づきにくいと思います。(実際私が学生の頃は初見では気づかなかったです…)
なのでしっかり頭に入れておきましょう。
イメージとしては\(\displaystyle \vec{OA’}=\frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|}\)は大きさ1のベクトルなので
OA’C’B’はOA’=OB’=1の平行四辺形つまりひし形となります。よってOC’は∠A’OB’を二等分していると考えることもできます。しかしやはり初見では難しいので知っておくのが手っ取り早いでしょう。

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