ベクトルの基本と足し算・定数倍

上野竜生です。今回はベクトルの初歩についてお話します。ベクトルとは何か!わかりますよ。

ベクトルの足し算

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ベクトルとは?

ベクトルとは向きと大きさをもつ量である。

2つのベクトルが等しいとは向きも大きさも両方等しいことをいう。

大きさが0のベクトルを零ベクトルといい\(\vec{0} \)とかく。零ベクトルには向きは考えない。

大きさが1のベクトルを単位ベクトルという。零ベクトル以外のすべてのベクトルはその大きさで割ることで大きさが1のベクトルにできる。

ベクトルの和・差・実数倍

ベクトルの実数倍

\(\vec{AB}\)を実数k倍したもの\(k\vec{AB} \)は次のように定義される。
k>0のとき 向きは同じで大きさが|k|(=k)倍
k=0のとき 零ベクトル
k<0のとき 向きは真逆で大きさが|k|(=-k)倍

ベクトルの和

下のような平行四辺形OABCを考える。

ベクトルの和
向きと大きさが等しいから\(\vec{OB}=\vec{AC} \)である。
よって\(\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AC}=\vec{OC} \)
このようにベクトルの和は平行四辺形の対角線のベクトルになる。
一般に\(\vec{AX}+\vec{XB}=\vec{AB} \)が成り立つ。
つまりAからXにいき,そのあとでXからBにいくのとAから直接Bにいくのは等しい。

ベクトルの差

\(\vec{OA}-\vec{OB} \)を求めたい。1つの方法は\(-\vec{OB}=\vec{BO} \)とすればよい。
ただ先ほどの和の公式から
\(\vec{OB}+\vec{BA}=\vec{OA} \)なので移項すれば
\(\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA} \)となる。
より一般にベクトルの差を計算するとき始点が一致していれば次の式が成り立つ
\(\vec{XA}-\vec{XB}=\vec{BA} \)
(始点が一致していることに注意。また○A-○B=ABではなくBAなので向きに注意。ベクトルでは向きも重要なので\(\vec{AB}\neq \vec{BA} \)です。

位置ベクトル

先ほどの公式から\(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA} \)が成り立つ。ということはどんなベクトルがやってきても始点を好きな点に書き換えることができるということである。
たくさんのベクトルがあってややこしいときは始点をどこかに統一すればすごく見やすくなります。これがベクトルの基本となります。

成分表示

座標平面でO(0,0),A(a,b)としたとき\(\vec{OA} \)は\(\vec{OA}=(a,b) \)という風に成分で表示することもできる。
成分表示されたベクトルの和・差は各成分の和・差に等しい。
また\(k\vec{OA}=(ka,kb) \)である。
ベクトルの大きさは三平方の定理から\( |\vec{OA}|=\sqrt{a^2+b^2} \)である。
たとえばA(a,b),B(c,d)とすると\(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(c-a,d-b) \)である。

例題(正六角形の問題)

図のような正六角形OABCDEがある。次のベクトルを\(\vec{OA} , \vec{OE} \)のみを用いて表せ。
正六角形のベクトル
(1) \(\vec{OB} \)
(2) \(\vec{OC} \)
(3) \(\vec{CE} \)

正六角形は向きと大きさが同じベクトルがたくさんあります。しかも見ただけで明らかなので証明なしで使えるのが良いところです。

答え(1) \(\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AF}+\vec{FB}=\vec{OA}+\vec{OE}+\vec{OA}=2\vec{OA}+\vec{OE} \)
(2) \(\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{BC}=(2\vec{OA}+\vec{OE})+\vec{OE}=2\vec{OA}+2\vec{OE} \)
(3) \(\vec{CE}=\vec{OE}-\vec{OC}=\vec{OE}-(2\vec{OA}+2\vec{OE})=-2\vec{OA}-\vec{OE} \)

最初は簡単だけど慣れることも多くて大変かもしれません。ここで諦めずにしっかり理解しておきましょう。

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