点と直線の距離の公式

上野竜生です。点と直線の距離の公式は微妙に間違えやすく、差がつきやすいです。応用もできるので苦手な人は見ておきましょう。

点と直線の距離・平行な2直線の距離

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点と直線の距離の公式

点\( (X,Y) \)と直線\( ax+by+c=0 \)の距離は
\( \displaystyle \frac{|aX+bY+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

例題:点(4,2)と直線y=-3x+4の距離はいくらか?

直線の式は3x+y-4=0と書けるので点と直線の距離の公式より

\( \displaystyle \frac{|3\cdot 4 + 1 \cdot 2 -4|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\)

直線と平行な直線の距離

例題:平行な2直線y=4x+2とy=4x+3の距離を求めよ。

これが露骨に聞かれることはないでしょうが、知っておけばほかの問題を解くときに助けになることがあります。

答え

y=4x+2上の点(0,2)をとる。これと直線4x-y+3=0の距離を求めればよい。

\( \displaystyle \frac{|-2+3|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}} \)

円に接する条件

直線 ax+(a+2)y-4=0が(3,5)を中心とする半径2の円に接するとき、定数aの値を求めよ。

円の接線の問題ですが、つまり、点(3,5)と直線の距離が2になるので

\( \displaystyle \frac{|3a+5a+10-4|}{\sqrt{a^2+(a+2)^2}}=2\) (★)

これを解けばよい。両辺2乗すると

\( \displaystyle \frac{64a^2+96a+36}{2a^2+4a+4}=4\)

分母を払って\( 64a^2+96a+36=8a^2+16a+16 \)

あとはこれを解けばよい。両辺を4で割ると

\(16a^2+24a+9=2a^2+4a+4 \\ 14a^2+20a+5=0 \)

\( \displaystyle a=\frac{-10\pm \sqrt{30}}{14}\)

本当は2乗計算をしているのでこの2つの解が本当に条件を満たすか確認する必要があります。つまり、この2つのaが(★)を満たすと一言述べるほうが良いです。

これ以外にも応用例はあります。距離に関することが出てきたらこの公式の利用を疑ってみるといいでしょう。

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