上野竜生です。今回は垂心の位置ベクトルを求めます。垂心はその性質通り垂直条件から求めます。最後に一般の場合の結果も紹介します。

問題

三角形ABCにおいてAB=5 , BC=7 , CA=8 とし、三角形ABCの垂心をHとするとき\(\vec{AH}\)を\(\vec{AB},\vec{AC} \)で表せ。
答え垂心のベクトル
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5 \cdot 8}=\frac{1}{2} \)より
\(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}=20 \)
\(\vec{AH}=s\vec{AB}+t\vec{AC} \)とおく。
AH⊥BCより\(\vec{AH} \cdot (\vec{AC}-\vec{AB})=0 \)

\( s\vec{AB}\cdot \vec{AC}+t|\vec{AC}|^2 – s|\vec{AB}|^2-t\vec{AB}\cdot \vec{AC} =0 \)
\( 20s+64t-25s-20t=-5s+44t=0 \)

BH⊥ACより\( ( (s-1)\vec{AB}+ t\vec{AC}) \cdot \vec{AC}=0 \)
\( (s-1) \vec{AB}\cdot \vec{AC}+t|\vec{AC}|^2 =0 \)
\( 20s-20+64t=0 \)
つまり\(5s+16t=5 \)
これを解くと\(\displaystyle s=\frac{11}{15} ,t=\frac{1}{12} \)
よって\(\displaystyle \vec{AH}=\frac{11}{15}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{AC} \)

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おまけの問題

(1)上の例題で始点を任意の点Xに書き換えて\(\vec{XH}\)を\(\vec{XA},\vec{XB},\vec{XC} \)で表せ。
(2)tanA:tanB:tanCを求めよ。
答え(1)

\(\displaystyle \vec{XH}-\vec{XA}=\frac{11}{15}(\vec{XB}-\vec{XA})+\frac{1}{12}(\vec{XC}-\vec{XA}) \)

整理すると

\(\displaystyle \vec{XH}=\frac{ 11 \vec{XA}+44 \vec{XB}+5\vec{XC}}{60}\)

(2)余弦定理を用いると
\(\displaystyle \cos{B}=\frac{25+49-64}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{1}{7} \)
\(\displaystyle \cos{C}=\frac{49+64-25}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{11}{14} \)
よってcosA:cosB:cosC=7:2:11
正弦定理よりsinA:sinB:sinC=BC:CA:AB=7:8:5
よってtanA:tanB:tanC=1:4:\(\frac{5}{11}\)=11:44:5

(1)の係数と(2)の比には深い関係がありそうです。しかも(2)の比をすべて足すと11+44+5=60で(1)の分母になってます。実は一般に垂心の位置ベクトルは

\(\displaystyle \vec{XH}=\frac{ \tan{A} \vec{XA}+\tan{B} \vec{XB}+\tan{C}\vec{XC}}{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}}\)

と表せることが知られています。

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