指数関数の最大最小の求め方｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。指数関数の最大・最小の求め方を教えます。

$指数関数の最大最小の求め方$

基本：2^xなどをAとおいて多項式などに帰着させる

例題：　4^x-2^x+1の最小値を求めよ。

2^x+1=2・2^xに注意します。

答え2^x=A（A>0）とおく。
A²-2A=(A-1)²-1よりA>0に注意するとA=1のとき最小値-1
2^x=1を解くとx=0なのでx=0のとき最小値-1

・最も基本的な解法です。今回はAの2次式になったので平方完成して最小値を求めていますが多項式の微分を習えば3次式などでも最小値は計算できます。
・方程式のときとは違いA>0に注意しなければなりません。2次関数の放物線すべてをAがとり得るわけではなくA>0の部分しかとらないのでその中で最小値を探します。
・4^x-2^x+1≧-1までは簡単に言えますが「最小値」なので不等式でおさえるだけでなく等号が成立するxの値が存在することも示さなければなりません。手っ取り早い方法としてxの値を求めればよいでしょう。

基本２：相加相乗平均が使えるパターン

例題：　2^x+2^-xの最小値を求めよ。

これは応用パターンで頻出なのでこの部分は丸暗記したいところです。

答え2^x>0,2^-x>0なので相加相乗平均の関係より
$ \displaystyle 2^x+2^{-x} \geq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2 $
等号成立は2^x=2^-xのときつまりx=0のとき最小値2

応用パターン

9^x+9^-x-3^x-3^-xの最小値を求めよ。

答え3^x+3^-x=Aとおく。
3^x>0,3^-x>0より相加相乗平均の関係からA≧2
9^x+9^-x=(3^x+3^-x)²-2=A²-2なので
9^x+9^-x-3^x-3^-x=A²-A-2
$ A^2-A-2=(A-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4} $よりA≧2での最小値はA=2のときの0
$指数関数の最大最小$
3^x+3^-x=2を解くとx=0
よってx=0のとき最小値0

xが実数全体でもAの範囲は実数全体ではないので2次関数の頂点のところが最小値というわけではありません。
最小値をとるxの値を求めるとうっかり頂点を最小値にしてしまうミスを防げます。（記述式ならどっちにしろxの値を書かないと減点されますし・・・）

基本的には他の多項式に帰着されるのですが範囲に注意です。xが実数全体でも指数関数は正の値しかとらないなど定義域が変化しますのでそこを見落とさないようにしましょう。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

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