正射影ベクトル｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。正射影ベクトルを求めます。正射影ベクトルとは何か？については下の問題の$\vec{OH} $のことなのでそれを参照してください。高校範囲で簡単に求められますよ。

$正射影ベクトル$

問題

三角形OABにおいて点Bから辺OAにおろした垂線の足をHとする。
$\vec{OA}=\vec{a} , \vec{OB}=\vec{b} $とするとき$\vec{OH} $を$\vec{a},\vec{b} $を用いた式で表せ。

O,H,Aは一直線上にあるので$\vec{OH}=k\vec{OA} $とおける。∠AOB=θとする。

$正射影ベクトル$

＜解１＞$|\vec{OH}| $に注目する。

$ |\vec{OH}|=k|\vec{a}|=|\vec{b}|\cos{\theta} $
∴$\displaystyle k=\frac{|\vec{b}|\cos{\theta}}{|\vec{a}|} $
内積の定義より$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} $だから
$\displaystyle |\vec{b}|\cos{\theta}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$
よって$\displaystyle k=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} $となり
$\displaystyle \vec{OH}=\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} $

＜解２＞$\vec{OH}\cdot \vec{BH}=0 $を利用する。

$\vec{OH}⊥\vec{BH} $より$\vec{OH} \cdot \vec{BH} = k \vec{a} \cdot (k\vec{a}-\vec{b})=0 $
∴$k^2 |\vec{a}|^2-k\vec{a} \cdot \vec{b} =0 $
k≠0より$\displaystyle k=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} $
∴$\displaystyle \vec{OH}=\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} $

どちらの方法でも簡単に計算できますね。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

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