三角関数の最大・最小値の基本

上野竜生です。三角関数の最大・最小問題のうち比較的シンプルな解法である三角関数の統一・角度を統一するタイプの問題です。三角関数の相互法則や2倍角・3倍角の公式を使いこなすので公式の暗記が不十分な人はそこからやり直しましょう。

三角関数の最大最小の基本

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例題1

0≦x<2πのとき\(\sin^2{x}-\cos{x}\)の最大値を求めよ。

\(\sin^2{x}=1-\cos^2{x} \)なのでcosxのみの式であり,t=cosxとおけばうまくいきます。tのとり得る範囲に注意しましょう。

答えt=cosxとおくと0≦x<2πより-1≦t≦1
\(\sin^2{x}-\cos{x}=(1-\cos^2{x})-\cos{x}\\
=1-t^2-t=-(t+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}\)
-1≦t≦1での最大値は\(t=-\frac{1}{2}\)のとき\(\frac{5}{4}\)
よって\(\cos{x}=-\frac{1}{2}\),つまり\(x=\frac{2}{3}\pi , \frac{4}{3}\pi \)のとき最大値\(\frac{5}{4}\)

例題2

\( \frac{1}{4}\pi \leq x<\frac{5}{6}\pi \)のとき\(\sin{3x}\sin{x}\)のとり得る範囲を求めよ。
答え3倍角の公式より
\(\sin{3x}\sin{x}=(3\sin{x}-4\sin^3{x})\sin{x}=3\sin^2{x}-4\sin^4{x}\)
\(t=\sin^2{x}\)とおくと\( \frac{1}{4}\pi \leq x<\frac{5}{6}\pi \)より\(\frac{1}{4}< t \leq 1\)
(与式)=\(3t-4t^2=-4(t-\frac{3}{8})^2+\frac{9}{16} \)
参考図
グラフより\(\frac{1}{4}<t \leq 1\)での\(3t-4t^2\)のとり得る範囲は\(-1 \leq 3t-4t^2 \leq \frac{9}{16} \)
よって\(-1 \leq \sin{3x}\sin{x} \leq \frac{9}{16} \)

例題3 同次式(やや難)

0≦θ<2πのとき\(3\cos^2{\theta}+2\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{\theta}+\sin^2{\theta}\)の最大値とそのときのθの値を求めよ。
○sin2θ+△sinθcosθ+□cos2θの形はすべての項がsinθとcosθの2次式です。このタイプは少し難しいですが2θで統一できます。
まずsinθcosθ→sin2θで書ける・sin2θやcos2θ→cos2θで書けるので角が2θに統一されます。すると三角関数の合成をして一つにまとめられるのです。
答え\(3\cos^2{\theta}+2\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{\theta}+\sin^2{\theta}\\=2\cdot \frac{\cos{2\theta}+1}{2}+\sqrt{3}\sin{2\theta}+1\\
=\sqrt{3} \sin{2\theta}+\cos{2\theta}+2\\
=2\sin{(2\theta+\frac{\pi}{6})}+2 \)
\(0\leq \theta < 2\pi \)より\(\frac{\pi}{6} \leq 2\theta+\frac{\pi}{6} < \frac{25}{6}\pi \)
\(2\theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} , \frac{5}{2}\pi \),つまり\(\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7}{6}\pi \)のとき最大値4

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