確率　(箱から玉を取り出す系)

上野竜生です。前回，サイコロを投げる確率を扱いました。今回は確率の中でも箱から玉を取り出す問題に絞って紹介していきます。

取り出した玉を元に戻すか戻さないかが大事

問題文に書かれています。どう考えるのかというと

意外とだんだん減っていくというのも重要です。毎回変わっているだけなら増えることも考えられますが減っていけば楽になっていきますね。

箱の中の状態で場合分けすることもあるので玉が減れば場合分けの数も減っていきます。

元に戻す場合

(2)までは問題文の意味がわかりやすいですが(3)は条件付き確率がでてきています。この機会に学習しましょう。

(1)　9個の中から3個の玉を選ぶやりかたは\(_9C_3=84\)通り
赤6個の中から3個の玉を選ぶやり方は\(_６C_3=20\)通り。

よって\(\frac{20}{84}=\frac{5}{21}\)

(2)　2回目の操作を行う
⇔1回目で赤3個を取り出すか「赤2個白1個」を取り出す

赤2個の選び方は\(_6C_2=15\)通り
白1個の選び方は\(_3C_1=3\)通り。よって45通り

赤2個になる確率は\(\frac{45}{84}\)

赤3個の確率は(1)より\( \frac{20}{84}\)なので求める答えは\( \frac{65}{84} \)

(3)　条件付確率

「Ａという条件の下でBが起きる条件付確率は　（ＡかつＢの確率）÷（Ａの確率）」

この公式を使えるかの問題になります。(1)(2)だと分母は84（またはその約数）とわかりきってますが条件付確率では分母が何になってもおかしくありません。それを踏まえて考えていきましょう。

（Ａの確率）・・・「2回目の操作で赤3個を取り出す」

１回目は赤2個以上なので(2)よりその確率は\(\frac{65}{84}\)

２回目は赤3個なので(1)よりその確率は\( \frac{20}{84}\)

よってＡの確率は\( \frac{65}{84} \cdot \frac{20}{84} \)

（ＡかつＢの確率）・・・「2回目の操作で赤3個を取り出す　かつ　1回目の操作で赤3個を取り出す」

１回目は赤3個なので(1)よりその確率は\( \frac{20}{84} \)

２回目も赤3個なので\( \frac{20}{84} \)

よってAかつBの確率は\( \frac{20}{84} \cdot \frac{20}{84} \)

求める条件付確率は\( \displaystyle \frac{\frac{20}{84} \cdot \frac{20}{84}}{\frac{65}{84}\cdot \frac{20}{84}}=\frac{20}{65}=\frac{4}{13}\)

取り出した玉を箱に戻さない場合

１回目の操作は箱に戻すかどうかには関係ないので（１）（２）は上の例題と同じです。

（３）　上の例題と同様に考えます。

（ＡかつＢの確率）・・・「2回目の操作で赤3個を取り出す　かつ　1回目の操作で赤3個を取り出す」

１回目は赤3個なので(1)よりその確率は\( \frac{20}{84} \)

２回目は「箱に白3個，赤3個」ある状態から赤3個なので
\( \displaystyle \frac{_3C_3}{_6C_3}=\frac{1}{20}\)

よってAかつBの確率は\( \frac{1}{84} \)

（Ａの確率）・・・「2回目の操作で赤3個を取り出す」

１回目は赤2個以上である。赤3個のときは上で計算した（\(\frac{1}{84}\))

1回目が赤2個白1個のとき，1回目が赤2個白1個になる確率は\( \frac{45}{84} \)（∵(2)の導出過程より）

２回目は「箱に白2個，赤4個」ある状態から赤3個なので
\( \displaystyle \frac{_4C_3}{_6C_3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)

よって１回目赤2個で2回目赤3個の確率は\( \frac{9}{84} \)

つまりＡの確率は\( \frac{10}{84} \)

求める条件付確率は\( \displaystyle \frac{\frac{1}{84}}{\frac{10}{84}}=\frac{1}{10}\)