4点が同一平面上にある条件をベクトルで

上野竜生です。今回は四面体OABC上の点Pを\(\vec{OP}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC} \)・・・(*)とおき,Pがある平面上にあるときa,b,cにはどんな制約があるか調べます。つまり3点を通る平面上にPがあるわけですから4点が同一平面上にある条件を調べます。

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基本

① 平面OAB上にあるとき

共面条件

平面OAB上の点Pは\(\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB} \)とかけます。これと(*)を見比べるとa=s, b=t, c=0となります。s,tは任意の実数なのでa,bには制約がありませんがc=0という制約があります。
まとめると

Pが平面OAB上ならc=0

② 平面ABC上にあるとき

同様に平面ABC上の点Pは始点をAにすると\(\vec{AP}=s\vec{AB}+t\vec{AC} \)とかけます。始点をOにすると
\(\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP} \\
=\vec{OA}+s\vec{AB}+t\vec{AC} \\
=\vec{OA}+s(\vec{OB}-\vec{OA})+t(\vec{OC}-\vec{OA}) \\
=(1-s-t)\vec{OA}+ s\vec{OB}+t\vec{OC} \)
これと(*)を見比べるとa=1-s-t, b=s, c=tとなります。3つをすべて足すとs,tが消去できa+b+c=1となります。これが制約条件です。
まとめると

Pが平面ABC上ならa+b+c=1

ここまでの結果は頻出なので覚えましょう。それを踏まえて次の応用問題にもチャレンジしてみましょう!

応用問題

下の図のような四面体OABCにおいてBCの中点をD,OCの中点をEとする。
共面条件クイズ
\(\vec{OP}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC} \)・・・(★)とおく。Pが次の面を動くときa,b,cに関する制約条件として正しいものを選べ
(1) 平面OAD上
a+2b+2c=1
2a+b+c=1
2a+b+c=2
b=c

正解です !

間違っています !

(2) 平面ABE上
a+b+2c=1
2a+2b+c=2
a=b
2c=1

正解です !

間違っています !

(3) 平面ADE上
a+2c=1
2a+2b+c=2
a=1,b=c
2b=c

正解です !

間違っています !

(4) 四面体OABCがある。点Pを(★)と同様に定める。a,b,cに関する条件とPが動ける範囲の説明として正しいものはどれか?
a=b=cならPは三角形ABCの内部にある。
0<a+b+c<1ならPは四面体の内部にある。
a≧0,b≧0,a+b=1ならばPは線分AB(両端含む)にある。
0≦a≦1,0≦b≦1,0≦c≦1ならばPの動ける領域は平行六面体である。

正解です !

間違っています !

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ベクトルの同一平面条件クイズ

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