恒等式の解法パターンまとめ

上野竜生です。恒等式の解法パターンをまとめておきます。

恒等式

基本的に両辺を展開し,係数を比較すればOKです。

大学に行ったら習いますがこれは「1,x,x2,x3,・・・」が1次独立だからです。

ベクトルの分野でも1次独立なら係数比較できるというのを習うと思いますがここに結びついてくるわけです。(数学苦手な高校生ならかえって混乱すると思うのでこの話がわからなくても次へすすんでください)

解法パターン1: 単純に係数比較する(確実)

解法パターン2: 数値を代入する。(記述式の人要注意)

解法パターン3: 微分など演算をする(記述式の人要注意)

記述式の場合はよほどではない限り係数比較をオススメしますが,答えのみで良い場合は数値代入も有効です。

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例題1

次の式が恒等式となるように定数a,b,cの値を定めよ。
\( x^3=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c \)

基本に忠実に両辺を展開して係数比較すれば良いです。

答え

\( \begin{eqnarray}
x^3&=&x^3-3x^2+3x-1+a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c \\
&=&x^3-3x^2+3x-1+ax^2-2ax+a+bx-b+c \\
&=&x^3+(-3+a)x^2+(3-2a+b)x+(-1+a-b+c) \end{eqnarray}\)

両辺の係数を比較して\(\displaystyle \left\{ \begin{eqnarray}-3+a=0 \\ 3-2a+b=0 \\ -1+a-b+c=0 \end{eqnarray} \right. \)

これを解くと\( a=3, b=3 , c=1 \)

なお,この問題には少し裏技があります。右辺は全部(x-1)になっていることに気付くと,t=x-1とおけばうまくいくのでは?という発想もできます。

別解:

\( t=x-1\)とおく。(移項するとx=t-1ではなくx=t+1であることに注意)

\( (t+1)^3=t^3+at^2+bt+c \)

左辺は\( t^3 +3t^2+3t+1 \)と展開でき,これがtについての恒等式だからa=3, b=3, c=1

この辺りはひらめきになります。しかしひらめかなくても十分解けます。

例題2

次の式が恒等式になるように定数a,bの値を定めよ。
\( x^3=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+1 \)

先ほどの例題1のcが埋まっているだけのパターンです。

係数比較すればOKです。例題1と全く同じなので省略します。

では数値代入法で考えてみましょう。

答え?左辺をf(x),右辺をg(x)とする。

f(x)=g(x)が恒等的に成り立つならx=0,2を代入した値も一致するはず。よって

f(0)=g(0) より 0=-1+a-b+1

f(2)=g(2)より 8= 1+a+b+1

これを解くとa=3,b=3

と求まります。

しかし,この方法は注意です。

答えのみを記述する問題やマーク式で使う人はこれでOKですが,導出過程まで記述式だと減点される可能性が高いです(少なくとも私が採点すればこれは減点します)

なぜなら,この答案では「恒等式ならばa=3,b=3しかありえない」ことはわかっても「a=3,b=3なら恒等式」かどうかがわからないからです。

もし,これが\( x^3=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+\)2 だとします。例題1の係数比較法よりこれはa,bをどう定めても恒等式にはなりません。しかし代入する解法だと

f(0)=g(0)より0=-1+a-b+2

f(2)=g(2)より8=1+a+b+2

これを解くとa=2,b=3となります。でも間違いですよね?

この解法は本来次の定理に基づく解答なのですが,使用条件を誤っているためにおこる間違いです。

「n次の多項式f(x),g(x)について異なるn+1個の値\(a_1 ,a_2, \cdots ,a_{n+1} \)について\( f(a_1)=g(a_1),・・・,f(a_{n+1})=g(a_{n+1})\)」が成り立てばf(x)=g(x)」

なので3次式の場合4つの値を使って係数比較すれば記述式でもOKとなります。(それでもこの事実自体を示してないと減点されるのかも・・・)最悪の場合でも最後に次のように記述しておきましょう。

「よってa=3,b=3が必要である。逆にこのとき両辺を展開すれば恒等式であることがわかる。」

いろいろややこしくなりましたがセンターのみの人はこんなことは意識する必要はありません。マークするときの桁数を見れば少なくとも解なしではないことがわかりますので最低限度の連立(例題2の場合2本)で十分です。

微分などの演算を使った解答例

例題1に対する解答

x=1を代入するとc=1

両辺をxで微分すると\(3x^2= 3(x-1)^2+2a(x-1)+b \)

これにx=1を代入するとb=3

さらにxで微分すると\( 6x=6(x-1)+2a \)

これにx=1を代入するとa=3

よってa=3,b=3,c=1が必要。

逆にこのとき実際に代入し展開すれば両辺は等しい。

この解法も結局数値代入法を使っていますし,
恒等式⇒微分しても恒等式 を使っていますが
微分して恒等式⇒元の式が恒等式 という保証はないので最後の一言が必要です。

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