解と係数の関係 意外と使えます

上野竜生です。解と係数の関係を用いた問題はよく出ます。

解と係数の関係

解と係数の関係
(i) 2次方程式\( ax^2+bx+c=0 \)の2つの解を\( \alpha , \beta \)とすると\( \displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a} , \alpha\beta=\frac{c}{a} \)が成り立つ。
(ii) 3次方程式\( ax^3+bx^2+cx+d=0 \)の3つの解を\( \alpha , \beta , \gamma\)とすると\( \displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} ,\) \(\displaystyle \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a} ,\) \(\displaystyle \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \)が成り立つ。

証明は\( a(x-\alpha)(x-\beta) ,\) \( a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \)を展開し、係数比較すればわかります。

例題
3次方程式\(x^3+2x^2+3x+4=0\)の3つの解を\(\alpha , \beta , \gamma\)とおく。
(1) \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\)の値を求めよ。
(2) \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)の値を求めよ。
(3) \( (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) \)の値を求めよ。

(1)解と係数の関係より

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma=-2 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3 \\ \alpha\beta\gamma=-4 \end{array} \right.\end{eqnarray}
なので

\( \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \\ =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ =(-2)^2-2\cdot 3=4-6=-2 \)

どうやら複素数解をもつようです。(すべて実数解なら2乗したものの和は0以上になるはずなので。)

(2)

\( (\alpha+\beta+\gamma)^3=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\)より
\( (-2)(-2-3)+3(-4)=10-12=-2\)

これが正攻法ですがいきなり因数分解のボス級の公式を使ってます。なかなか覚えてない人も多いでしょうからこれを使わない別解も教えます!

<別解>

\(x=\alpha\)は\(x^3+2x^2+3x+4=0\)の解だから\(\alpha^3+2\alpha^2+3\alpha+4=0\)つまり,\(\alpha^3=-2\alpha^2-3\alpha-4\)が成り立つ。

同様に\(\beta^3=-2\beta^2-3\beta-4 , \gamma^3=-2\gamma^2-3\gamma-4\)なので

\( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\=-2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)-3(\alpha+\beta+\gamma)-4(1+1+1)\\=(-2)(-2)-3(-2)-12=-2\)

\( \alpha+\beta+\gamma=-2 ,\) \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=-2 ,\) \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-2\)なので\( \alpha^4+\beta^4+\gamma^4=-2\)と思いそうですが違います。興味のある人は計算してみてください。

(3) 展開すればOKですが,少し考え方を変えてみます。

\( \alpha+\beta+\gamma=-2\)より\(\alpha+\beta=-2-\gamma\)

他も同様にすると求める値は

\((\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) \\= (-2-\gamma)(-2-\alpha)(-2-\beta)\)

ここから展開しても良いがさらに裏技を使います

\(x=\alpha , \beta , \gamma \)は3次方程式\( x^3+2x^2+3x+4=0\)の解だから
\( x^3+2x^2+3x+4=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)とかける。この式にx=-2を代入する

\( -2=(-2-\alpha)(-2-\beta)(-2-\gamma)\)

よって求める値は-2

解と係数の関係そのものはシンプルですが適用はまるでパズルのような感覚になります。うまく使えると時間短縮になって気持ちいいですので頑張って練習しましょう。

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